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  • ID:3-6162029 广东省四校2020届高三8月开学联考数学文试题(PDF版)

    高中数学/高考专区/模拟试题


    广东省四校2020届高三8月开学联考数学文试题(PDF版)
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  • ID:3-6161635 (浙江版)2020年高考数学一轮复习:平面向量的数量积及应用(讲解)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:平面向量的数量积及应用(讲解) 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量的数量积及应用 1.理解平面向量数量积的概念及其意义,了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 2.掌握平面向量数量积的坐标运算,掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系. 3.会用坐标表示平面向量的平行与垂直. 4.高考预测: (1)以考查向量的数量积、夹角、模、垂直的条件等问题为主,基本稳定为选择题或填空题,难度中等以下; (2)同三角函数、解析几何等知识相结合,以工具的形式出现. 5.备考重点: (1)理解数量积的概念是基础,掌握数量积的两种运算的方法是关键; (2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,注意运用数形结合的数学思想,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题. 知识点1.平面向量的数量积 一、两个向量的夹角 1.定义 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角. 2.范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°. 3.向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°,则a与b垂直,记作a⊥b. 二、平面向量的数量积 1.已知两个非零向量a与b,则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,其中θ是a与b的夹角. 规定0·a=0. 当a⊥b时,θ=90°,这时a·b=0. 2.a·b的几何意义: 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积. 三、数量积的运算律 1.交换律:a·b=b·a. 2.分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 3.对λ∈R,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb). 【典例1】(2018·天津高考真题(文))在如图的平面图形中,已知,则的值为 A. B. C. D.0 【答案】C 【解析】如图所示,连结MN, 由可知点分别为线段上靠近点的三等分点, 则, 由题意可知: ,, 结合数量积的运算法则可得: . 本题选择C选项. 【总结提升】 计算向量数量积的三种常用方法 (1)定义法:已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角). (2)基向量法(利用数量积的几何意义):计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解. (3)坐标法:若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解. 【变式1】(2019·山西省静乐县第一中学高三月考)在中,则在方向上的投影为( ). A.4 B.3 C.-4 D.5 【答案】C 【解析】对等式两边平方得, ,整理得,,则, , 设向量与的夹角为, 所以,在方向上的投影为, 故选:C. 知识点2.平面向量的数量积的性质及运算 一、向量数量积的性质 1.如果e是单位向量,则a·e=e·a. 2.a⊥ba·b=0. 3.a·a=|a|2,. 4.cos θ=.(θ为a与b的夹角) 5.|a·b|≤|a||b|. 二、数量积的坐标运算 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则: 1.a·b=a1b1+a2b2. 2.a⊥ba1b1+a2b2=0. 3.|a|=. 4.cosθ==.(θ为a与b的夹角) 【典例2】(2018·浙江高考真题)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2?4e·b+3=0,则|a?b|的最小值是( ) A. B. C.2 D. 【答案】A 【解析】设, 则由得, 由得 因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1,为选A. 【思路点拨】 先确定向量所表示的点的轨迹,一个为直线,一个为圆,再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【变式2】(2019·浙江高三期末)若向量满足,且,则的最小值是__. 【答案】 【解析】 设,,,由可知,所以点C在以AB为直径的圆上; 设,,则, 而表示点O到以AB为直径的圆上任一点的距离, 所以最大值即是点O到圆心E的距离加半径,即, 所以,即最小值为2.故答案为2. 考点1 平面向量数量积的运算 【典例3】(2018·全国高考真题(理))已知向量,满足,,则( ) A.4 B.3 C.2 D.0 【答案】B 【解析】因为 所以选B. 【总结提升】 ①已知向量a,b的模及夹角θ,利用公式a·b=|a||b|cosθ求解; ②对于向量数量积与线性运算的综合运算问题,可先利用数量积的运算律化简,再进行运算. 【变式3】已知向量,则在方向上的投影为( ) A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】因为,所以,则,则在方向上的投影既是在方向上的投影为. 考点2 平面向量数量积的坐标运算 【典例4】(2019·成都模拟)已知菱形ABCD边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为(  ) A. B.- C. D.- 【答案】A 【解析】法一:由题意可得·=2×2cos=2, ·=(+)·(-) =(+)·[(-)-] =(+)·[(λ-1)·-] =(1-λ)2-·+(1-λ)·-2 =(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4 =-6λ=-3, ∴λ=,故选A. 法二:建立如图所示的平面直角坐标系, 则B(2,0),C(1,),D(-1,). 令P(x,0),由·=(-3,)·(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3得x=1. ∵=λ,∴λ=.故选A. 【方法总结】 1.已知向量a,b的坐标,利用数量积的坐标形式求解. 设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2. 2.通过建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标形式计算. 【变式4】(2019·天津高考模拟(理))如图梯形,且,,在线段上,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】以为坐标原点,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,设, 因此, 因此,设 所以 当时,最小值为选B. 考点3 平面向量的夹角问题 【典例5】(2019·全国高考真题(理))已知为单位向量,且=0,若,则___________. 【答案】. 【解析】因为,, 所以, ,所以, 所以. 【总结提升】 向量夹角问题的解答方法: (1)当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角θ,需求出a·b及|a|,|b|或得出它们之间的关系; (2)若已知a=(x1,y1)与b=(x2,y2),则cos〈a,b〉=. 提醒:〈a,b〉∈[0,π]. 【变式5】(2018·四川高考模拟(理))已知向量,满足,,若与的夹角为,则m的值为   A.2 B. C.1 D. 【答案】A 【解析】, 又, , , , , 即, 得或(舍去), 故的值为2,故选A. 考点4 平面向量的模的问题 【典例6】(2019·浙江高考模拟)已知平面向量不共线,且,,记与 的夹角是,则最大时,( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设,则,, 所以.易得, , 当时,取得最小值,取得最大值, 此时.故选C. 【规律方法】 平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法 ①若向量a是以坐标形式出现的,求向量a的模可直接利用公式|a|=. ②若向量a,b是以非坐标形式出现的,求向量a的模可应用公式|a|2=a2=a·a,或|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解. (2)求向量模的最值(范围)的方法 ①代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解. ②几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. (3)利用向量夹角公式、模公式,可将有关角度问题、线段长问题转化为向量的数量积来解决. 【变式6】(2018·浙江高考模拟)已知向量,满足,,则的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【解析】因为, , 由绝对值向量三角不等式得: ===1, 故选A. 考点5 平面向量垂直的条件 【典例7】(2018年文北京卷)设向量a=(1,0),b=(?1,m),若,则m=_________. 【答案】 【总结提升】 平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直 第一,计算出这两个向量的坐标; 第二,根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可. (2)已知两向量垂直求参数 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数. 【变式7】(浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟)已知平面向量, 满足,若,则的最小值为__________. 【答案】. 【解析】设A(x,y),B(5,0),C(0,5), 则 = 问题转化为点到点A(x,y)的距离和到点D(0,2)的距离之和最小, 点在曲线x+y=5(0

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  • ID:3-6161632 (浙江版)2020年高考数学一轮复习:平面向量的基本定理及坐标表示(讲解)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:平面向量的基本定理及坐标表示(讲解) 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量的基本定理及坐标表示 1.理解平面向量的基本定理及其意义,会用平面向量基本定理解决简单问题. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算. 4.高考预测: (1)考查平面向量基本定理、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算; (2)常常以平面图形为载体,借助于向量的坐标形式等考查共线、垂直等问题;也易同三角函数、解析几何等知识相结合,以工具的形式出现. 5.备考重点: (1) 理解坐标表示是基础,掌握坐标运算的方法是关键; (2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,注意运用数形结合的数学思想,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题. 知识点1.平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果是一平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面内任意向量,有且只有一对实数,使.其中,不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 【典例1】【浙江省绍兴市第一中学2019届高三上学期期末】在中,点满足,当点在射线(不含点)上移动时,若,则的 取值范围为__________. 【答案】 【解析】因为点在射线(不含点)上,设,又, 所以, 所以 ,,故的取值范围. 【易错提醒】 平面向量基本定理的实质及解题思路 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 【变式1】(2019·江西高考模拟(理))如图所示,矩形的对角线相交于点,为的中点,若,则等于( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由平面向量基本定理,化简 ,所以,即, 故选:A. 知识点2.平面向量的坐标运算 1. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底,对于平面内的一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得,这样,平面内的任一向量都可由x、y唯一确定,因此把叫做向量的坐标,记作,其中x叫做在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标. (2)若,则. 3.平面向量的坐标运算 (1)若,则; (2)若,则. (3)设,则,. 【典例2】【浙江省2019届高考模拟卷(三)】已知直线与抛物线交于两点,点,,且,则__________. 【答案】-3 【解析】 设,,则,,,则有,代入方程,故有,同理,有,即可视为方程的两根,则. 故答案为-3. 【总结提升】 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 【变式2】(2019·吉林高考模拟(理))已知向量,其中,则的最小值为( ) A.1 B.2 C. D.3 【答案】A 【解析】 因为, 所以, 因为,所以,故的最小值为. 故选A 知识点3.平面向量共线的坐标表示 向量共线的充要条件的坐标表示 若,则?. 【典例3】【浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考】过点的直线与椭圆交于点和,且.点满足,若为坐标原点,则的最小值为_ . 【答案】 【解析】 设,,则于是,同理,于是我们可以得到 . 即,所以Q点的轨迹是直线,即为原点到直线的距离,所以 【规律方法】 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略 (1)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. (2)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便. 【变式3】(2019·陕西咸阳市实验中学高考模拟(文))已知平面向量,,若向量与向量共线,则x=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由,,得 因为∥ 所以,解得 故选:B 考点1 平面向量基本定理及其应用 【典例4】(2019·山东高考模拟(文))如图,在中,,是上一点,若则实数的值为________. 【答案】 【解析】 由题意及图,, 又,所以,∴(1﹣m), 又t,所以,解得m,t, 故答案为:. 【总结提升】 1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,再用该基底表示向量,其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算. 2.特别注意基底的不唯一性: 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对基底的选取不唯一,平面内任意向量都可被这个平面的一组基底线性表示,且在基底确定后,这样的表示是唯一的. 【变式4】(2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性考试)如图,在△中,点是线段上两个动点, 且 ,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如图可知x,y均为正,设, 共线,, , 则, , 则的最小值为,故选D. 考点2 平面向量的坐标运算 【典例5】(2019·河南高考模拟(文))已知向量,向量,则的最大值是______. 【答案】6 【解析】 由题意,向量,则, 所以向量的终点在以原点为圆心,为半径的圆上, 又由,则其终点也在此圆上, 当与反向时,为最大,最大值为6. 【易错提醒】 注意向量坐标与点的坐标的区别: 要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向的信息也有大小的信息. 【变式5】已知向量,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为,所以=,故选A. 考点3 平面向量共线的坐标表示 【典例6】(2019·安徽高考模拟(文))已知平面向量,若,则________ 【答案】2 【解析】 ∵; ∴; 解得,故答案为2. 【总结提升】 利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量. 【变式6】向量且,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得,因为,则,即,又,故选A. 考点4 平面向量共线坐标表示的应用 【典例7】(2019·江苏高考模拟)如图,在平面四边形中,,,,点为线段的中点.若 (),则的值为_______. 【答案】 【解析】 以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设AB=BC=2, 则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,1),AC=2, AD=2×tan30°=,过D作DF⊥x轴于F,∠DAF=180°-90°-45°=45°, DF=sin45°=,所以D(,), =(2,2),=(,),=(2,1),因为, 所以,(2,2)=(,)+(2,1), 所以,,解得:的值为 故答案为: 【总结提升】 利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便. 【变式7】(2019·四川高考模拟(理))已知向量=(sin2α,1),=(cosα,1),若∥, ,则______. 【答案】 【解析】 向量=(sin2α,1),=(cosα,1), 若∥,则sin2αcosα=0, 即2sinαcosα=cosα; 又,∴cosα≠0,∴sinα=,∴. 故答案为:.

    • 2019-08-25
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  • ID:3-6161630 (浙江版)2020年高考数学一轮复习:平面向量的概念及线性运算(讲解)

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    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:平面向量的概念及线性运算(讲解) 第五章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 平面向量的概念及线性运算 1.平面向量的实际背景及基本概念:理解平面向量及几何意义,理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念. 2. 向量的线性运算:掌握向量加法、减法、数乘的概念,并理解其几何意义. 3.高考预测: (1)以考查向量的线性运算、共线为主,且主要是在理解它们含义的基础上,进一步解题,如利用向量的线性运算求参数等; (2)考查单位向量较多. (3)常常以平面图形为载体,借助于向量的坐标形式等考查共线等问题;也易同解析几何知识相结合,以工具的形式出现.. 4.备考重点: (1) 理解相关概念是基础,掌握线性运算的方法是关键; (2) 注意与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题,注意运用数形结合的思想方法. 知识点1.向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. 2.零向量:长度等于0的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于1个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 【典例1】(2019·重庆高二期末)下列命题中,正确的个数是( ) ①单位向量都相等; ②模相等的两个平行向量是相等向量; ③若,满足且与同向,则; ④若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合; ⑤若,则. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】A 【解析】 对于①,单位向量的大小相等,但方向不一定相同,故①错误; 对于②,模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量,故②错误; 对于③,向量是有方向的量,不能比较大小,故③错误; 对于④,向量是可以自由平移的矢量,当两个向量相等时,它们的起点和终点不一定相同,故④错误; 对于⑤,时,,,则与不一定平行. 综上,以上正确的命题个数是0. 故选A. 【易错提醒】 有关平面向量概念的注意点 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混淆. (4)两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点. (5)零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定. 【变式1】设a0为单位向量,下列命题中:①若a为平面内的某个向量,则a=|a|·a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0,假命题的个数是(  ) A.0          B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3. 知识点2.平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律:; (2)结合律: 减法 求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 二.向量的数乘运算及其几何意义 1.定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0. 2.运算律:设λ,μ是两个实数,则: ①;②;③. 【典例2】(2018年新课标I卷理)在△中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据向量的运算法则,可得 , 所以,故选A. 【总结提升】 平面向量的线性运算技巧 (1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解. (2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解. 【变式2】(2019·浙江高一期末)已知点G为的重心,若,,则=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设是中点,则,又为的重心,∴. 故选B. 知识点3.共线向量 共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa. 【典例3】(2019·浙江高一期末)在梯形中,已知,,点在线段上,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为, , 所以, 所以. 故选C. 【规律方法】 1.平面向量共线定理的三个应用 2.求解向量共线问题的注意事项 (1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. (3)直线的向量式参数方程:A,P,B三点共线?=(1-t)·+t(O为平面内任一点,t∈R). 【变式3】(2019·广东高考模拟(文))如图所示,中,,点E是线段AD的中点, 则   A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示, ,,,,. 故选:C. 考点1 向量的有关概念 【典例4】给出下列命题: ①的充要条件是且; ②若向量与同向,且,则; ③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; ④若向量与向量平行,则向量与的方向相同或相反; ⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; ⑥任一向量与它的相反向量不相等. 其中真命题的序号是________. 【答案】⑤ 【解析】①当与是相反向量时,满足且,但≠,故①假; ②向量不能比较大小,故②假; ③与任意向量平行,故③假; ④当与中有零向量时,由于零向量的方向是任意的,故④假; ⑤由相等向量定义知,⑤真; ⑥的相反向量仍是,故⑥假. 【易错提醒】 (1)非零向量a与的关系:是与a同方向的单位向量,-是与a反方向的单位向量. (2)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小. (3)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合,易忽视重合这一条件. (4)几个重要结论 ①向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性; ②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. 【变式4】给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若是不共线的四点,则=是四边形为平行四边形的充要条件; ③若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中假命题的个数为(  ) A.1            B.2 C.3 D.4 【答案】 【解析】 ①不正确.当起点不在同一直线上时,虽然终点相同,但向量不共线. ②正确.∵=,∴||=||且∥. 又∵是不共线的四点, ∴四边形是平行四边形. 反之,若四边形是平行四边形,则且与方向相同,因此=. ③不正确.两向量不能比较大小. ④不正确.当时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线. 选. 考点2 平面向量的线性运算 【典例5】(2019·浙江高一月考)如图所示,点是正六边形的中心,则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , 本题正确选项: 【总结提升】 1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则. 2.找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 【变式5】(2019·广东高考模拟(理))已知,,三点不共线,且点满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 已知,,三点不共线,且点满足,所以= +=) ()+=,所以, 故选:A 考点3 利用向量线性运算求参数 【典例6】(2019·北京高考模拟(文))设为的边的中点,,则的值分别为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵()- ∴mn 故选:A. 【总结提升】 利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置. (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化,转化为要求的向量形式. (3)比较、观察可知所求. 【变式6】(2019·山东高考模拟(文))在正方形中,为的中点,若,则的值为( ) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】 由题得, . 故选:B 考点4 共线向量及其应用 【典例7】设两个非零向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. 【答案】(1)见解析;(2)k=±1. 【解析】 (1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b), ∴=+=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5, ∴,共线. 又∵它们有公共点B,∴A,B,D三点共线. (2)假设ka+b与a+kb共线, 则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb), 即(k-λ)a=(λk-1)b. 又a,b是两个不共线的非零向量, ∴k-λ=λk-1=0. 消去λ,得k2-1=0,∴k=±1. 【总结提升】 共线向量定理应用时的注意点 (1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 【变式7】设是不共线的两个向量,已知,,则( ) A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 由题意, 则, 即,所以,所以 三点共线.

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    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:正弦定理和余弦定理(讲解) 第四章 三角函数与解三角形 正弦定理和余弦定理 1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用. 2.高考预测: (1)正弦定理或余弦定理独立命题; (2)正弦定理与余弦定理综合命题; (3)与三角函数的变换结合命题; (4)考查较为灵活,题型多变,选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理,解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用,多与三角形周长、面积有关;有时也会与平面向量、三角恒等变换、立体几何等结合考查. 3.备考重点: (1)掌握正弦定理、余弦定理; (2)掌握几种常见题型的解法. 知识点1.正弦定理 正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为: a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; sin A=,sin B=,sin C=等形式,以解决不同的三角形问题. 面积公式S=absin C=bcsin A=acsin B 【典例1】(2019·全国高考真题(文))的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=___________. 【答案】. 【解析】 由正弦定理,得.,得,即,故选D. 【总结提升】 已知两角一边可求第三角,解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. 已知两边和一边对角,解三角形时,利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点,应引起注意. 已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 【变式1】(2018届浙江省嘉兴市高三上期末)在锐角中,内角所对的边分别是,若,则的取值范围是________. 【答案】 【解析】因为,所以 因为锐角,所以 知识点2.余弦定理 余弦定理: , ,. 变形公式cos A=,cos B=,os C= 【典例2】(2019·北京高考真题(文))在△ABC中,a=3,,cosB=. (Ⅰ)求b,c的值; (Ⅱ)求sin(B+C)的值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理可得, 因为,所以;因为,所以解得. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以; 因为为的内角,所以. 因为. 【总结提升】 应用余弦定理解答两类问题: 【变式2】(2019·北京高考模拟(理))已知在△中,. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)求的最大值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)1. 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得 因为角为三角形内角 (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 = = = = = = 的最大值是1 考点1 正弦定理 【典例3】(2019·北京高考模拟(理))在中,已知BC=6,AC=4,,则∠B=______. 【答案】 【解析】 ∵BC=6,AC=4,,由正弦定理,得:sinB=, ∵AC<BC,∴得B为锐角,所以B=. 故答案为:. 【思路点拨】 由正弦定理可求sinB的值,结合大边对大角,特殊角的三角函数值可求B的值.忽视角的范围,易于出错. 【变式3】(2019·北京人大附中高考模拟(理))在三角形ABC中, ,则( ) A. B.或 C. D.或 【答案】D 【解析】 由正弦定理得或,选D. 考点2 余弦定理 【典例4】(2018·全国高考真题(文))的内角的对边分别为,,,若的面积为,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 【总结提升】 已知三边,由余弦定理求,再由求角,在有解时只有一解. 已知两边和夹角,余弦定理求出对对边. 【变式4】(2018·全国高考真题(理))在中,,BC=1,AC=5,则AB=( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 所以,选A. 考点3 正弦定理与余弦定理的综合运用 【典例5】(2019·全国高考真题(理))的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设. (1)求A; (2)若,求sinC. 【答案】(1);(2). 【解析】 (1) 即: 由正弦定理可得: (2),由正弦定理得: 又, 整理可得: 解得:或 因为所以,故. (2)法二:,由正弦定理得: 又, 整理可得:,即 由,所以 . 【总结提升】 应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理. 【变式5】(2018年浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________. 【答案】 (1). (2). 3 【解析】 由正弦定理得,所以 由余弦定理得(负值舍去). 考点4 应用正弦定理、余弦定理判定三角形形状 【典例6】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c-acosB=(2a-b)cosA,则△ABC的形状为(  ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 因为c-acosB=(2a-b)cosA,C=π-(A+B), 所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinB·cosA, 所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA, 所以cosA(sinB-sinA)=0, 所以cosA=0或sinB=sinA, 所以A=或B=A或B=π-A(舍去), 所以△ABC为等腰或直角三角形. 【规律方法】 1.判定三角形形状的途径:(1)化边为角,通过三角变换找出角之间的关系;(2)化角为边,通过代数变形找出边之间的关系,正(余)弦定理是转化的桥梁. 2.无论使用哪种方法,都不要随意约掉公因式,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件,重视角的范对三角函数值的限制. 【变式6】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC. ①求角A的大小; ②若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状. 【答案】① A=60°. ②△ABC为等边三角形. 【解析】 ①由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)·sinC及正弦定理, 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c, 即bc=b2+c2-a2, ∴, ∵0°<A<180°,∴A=60°. ②∵A+B+C=180°, ∴B+C=180°-60°=120°. 由sinB+sinC=,得sinB+sin(120°-B)=, ∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=. ∴sinB+cosB=, 即sin(B+30°)=1. ∵0°<B<120°, ∴30°<B+30°<150°. ∴B+30°=90°,即B=60°. ∴A=B=C=60°, ∴△ABC为等边三角形. 考点5 与三角形面积有关的问题 【典例7】(2019·全国高考真题(文))的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围. 【答案】(1) ;(2). 【解析】 (1)根据题意,由正弦定理得,因为,故,消去得。 ,因为故或者,而根据题意,故不成立,所以,又因为,代入得,所以. (2)因为是锐角三角形,由(1)知,得到, 故,解得. 又应用正弦定理,, 由三角形面积公式有: . 又因,故, 故. 故的取值范围是 【规律方法】 1.求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积. (2)若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键. 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解. (2)若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解. 提醒:正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中,要注意三角函数公式的工具性作用. 【变式7】(2017·全国高考真题(理))的内角的对边分别为 ,已知. (1).求 (2).若 , 面积为2,求 【答案】(1);(2)b=2. 【解析】 (1)由题设及,故 上式两边平方,整理得 解得 (2)由,故 又 由余弦定理及得 所以b=2. 考点6 与三角形周长有关的问题 【典例8】(2017课标1,理17)△ABC的内角A,B, C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为 (1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 【答案】 【解析】 【规律方法】 应用正弦定理、余弦定理,建立边长的方程,是解答此类问题的基本方法,解答过程中,要注意整体代换思想的应用,如果遇到确定最值问题,往往要结合均值定理求解. 【变式8】(2019·北京高考模拟(理))在中,角所对的边分别是已知. (1)求的大小; (2)若的面积为,求的周长. 【答案】(1);(2). 【解析】 中,, 由正弦定理可得, 整理可得, 又A为三角形内角,, 所以, 由B为三角形内角,可得; 由的面积为,即, 所以, 又, 由余弦定理得, 所以, 所以的周长为.

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  • ID:3-6161607 (浙江版)2020年高考数学一轮复习:同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲解)

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    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲解) 第四章 三角函数与解三角形 同角三角函数的基本关系及诱导公式 - 1. 理解同角三角函数的基本关系. 2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式. 3.高考预测: (1)1.公式的应用. (2)高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主. 4.备考重点: (1)掌握诱导公式,注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系; (2)掌握同角三角函数基本关系式,注意同角的三个函数值中知一求二. 知识点1.同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). (2)商数关系:tan α=. 【典例1】(2019·北京高考模拟(文))已知,且,那么( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为, >0,故 即, 又, 解得: 故选 :B 【规律方法】 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化. (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. 【变式1】(2019·全国高考模拟(文))若α∈(,π),sinα=,则tanα=(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵α∈(,π),且sinα= ,∴cosα=,则tan . 故选:C. 知识点2.利用诱导公式化简求值 六组诱导公式  角函数  2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin_α -sin_α -sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α -cos_α cos_α -cos_α sin_α -sin_α 正切 tan_α tan_α -tan_α -tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号” 【典例2】(2016·全国高考真题(文))已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= . 【答案】 【解析】 ∵θ是第四象限角, ∴,则, 又sin(θ), ∴cos(θ). ∴cos()=sin(θ),sin()=cos(θ). 则tan(θ)=﹣tan(). 故答案为:. 【总结提升】 用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α, +α与-α, +α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ, +θ与-θ, +θ与-θ等. 【变式2】(2019·陕西高考模拟(文))已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,由诱导公式即可求解. 因为,则.故应选C. 知识点3.特殊角的三角函数值(熟记) 【典例3】求值:sin(-1 200°)cos1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)= . 【答案】1 【解析】原式 【总结提升】 利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 【变式3】(2019·云南省玉溪第一中学高考模拟(文))等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题,故选C. 考点1 同角三角函数的基本关系式 【典例4】(2019·上海高考模拟)设且,若,则______. 【答案】1 【解析】 设且,若, 所以:, =1, 又+=1, , =1, 又 = = = , 故答案为:1. 【总结提升】 (1)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二. (2)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 【变式4】(2019·江苏高考模拟)在平面直角坐标系中,若曲线与在上交点的横坐标为,则的值为_ __. 【答案】 【解析】 由题可得:,解得:,又 所以 又,解得: 所以 考点2 sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 【典例5】(2019·山东高三期末(理))已知,,则( ) A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】 由题意知,,① ,即, ,为钝角,, , , ,② 由①②解得, ,故选B. 【规律方法】 三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法:等. (3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化. 【变式5】(2018·河北高考模拟(理))已知,,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵,∴, ∴,又∵,∴,∴, ∴,故选B. 考点3 利用诱导公式化简求值 【典例6】化简 【答案】当时,原式;当时,原式. 【解析】(1)当时, 原式; (2)当时, 原式. 【规律方法】 1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式. 2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 【变式6】(2018届贵州省贵阳市适应性考试(二))已知,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵ ∴ ∵ ∴,则. ∵ ∴ 故选A. 考点4 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例7】(2018·山东高三期中(文))若是的一个内角,且,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 已知是的一个内角,则0<θ<π,结合, 可知sinθ>0,cosθ<0, =sinθ-cosθ,∵ ∴, ∴.故选D. 【总结提升】 三角形中的三角函数关系式 【变式7】(2019·河北高考模拟(文))已知,且为第三象限角,则( ) A. B.- C. D. 【答案】B 【解析】 ∵,∴. ∵, ∴,即, 又∵为第三象限角,∴. 故选B.

    • 2019-08-25
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    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:任意角和弧度制及任意角的三角函数(讲解) 第四章 三角函数与解三角形 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.了解角、角度制与弧度制的概念,掌握弧度与角度的换算. 2. 理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义. 3.高考预测: (1)三角函数的定义; (2)扇形的面积、弧长及圆心角; (3)在大题中考查三角函数的定义,主要考查:一是直接利用任意角三角函数的定义求其三角函数值;二是根据任意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标. 4.备考重点: (1) 理解三角函数的定义; (2) 掌握扇形的弧长及面积计算公式. 知识点1.象限角及终边相同的角 1.任意角、角的分类: ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角: 终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z). 2.弧度制: ①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|=,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关. 3.弧度与角度的换算:360°=2π弧度;180°=π弧度. 【典例1】(2019·乐陵市第一中学高三专题练习)如果,那么与终边相同的角可以表示为   A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意得,与终边相同的角可以表示为. 故选B. 【规律方法】 象限角的两种判断方法 (1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 【变式1】若角是第二象限角,试确定,的终边所在位置. 【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限. 【解析】∵角是第二象限角,∴, (1), ∴ 角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上. (2),当时, ∴, ∴的终边在第一象限. 当时, ∴, ∴的终边在第三象限. 综上所述,的终边在第一象限或第三象限. 知识点2.三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sin α=y,cos α=x,tan α=,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. 2.三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦 3.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos α,sin α),即P(cos α,sin α),其中cos α=OM,sin α=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T,则tan α=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线. 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 【典例2】(2011·江西高考真题(文))已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若是角终边上一点,且,则y=_______. 【答案】-8 【解析】 根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角. = 【规律方法】 1.已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解. 2.已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值. 【变式2】(浙江省嘉兴市第一中学期中)已知角的终边与单位圆交于点,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由三角函数的定义可得. 故选B. 知识点3.扇形的弧长及面积公式 弧长公式:l=|α|r,扇形面积公式:S扇形=lr=|α|r2. 【典例3】(2019·河南高考模拟(理))已知圆与直线相切于,点同时从点出发,沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动,当运动到点时,点也停止运动,连接,(如图),则阴影部分面积,的大小关系是( ) A. B. C. D.先,再,最后 【答案】A 【解析】 如图所示,因为直线与圆相切,所以, 所以扇形的面积为,, 因为,所以扇形AOQ的面积, 即, 所以, 【总结提升】 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度; (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决; (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. 【变式3】(浙江省诸暨中学)已知扇形的周长是,面积是,则扇形的中心角的弧度数是( ) A. B. C.或 D. 或 【答案】C 【解析】设扇形的半径为,弧长为,则 ∴解得 或 故选C. 考点1 象限角及终边相同的角 【典例4】 (2019·宁夏质检)终边在直线上,且在内的角的集合为 . 【答案】 【解析】如图,在坐标系中画出直线,可以发现它与x轴的夹角是,在内,终边在直线上的角有两个:,; 在内满足条件的角有两个:,,故满足条件的角构成的集合为. 【易错提醒】 (1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍. (2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. 【变式4】(浙江省杭州第二中学)若是第三象限的角, 则是 ( ) A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角 【答案】B 【解析】是第三象限角,,,,故当为偶数时, 是第一象限角;故当为奇数时, 是第三象限角,故选B. 考点2 利用三角函数定义求值 【典例5】(浙江省台州中学期中)已知角的终边过点,且,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可知,, ,是第三象限角, 可得, 即,解得,故选B. 【规律方法】 1.已知角终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后利用三角函数的定义求解. 2.已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角的三角函数值. 【变式5】已知角的终边在射线上,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题得在第四象限,且, 所以 故答案为:A. 考点3 三角函数值的符号判定 【典例6】(浙江省东阳中学月考)已知且,则角的终边所在的象限是( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零,纵坐标大于零,所以终边在第二象限,应选答案B. 【总结提升】 判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解. 【变式6】已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是(  ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3] 【答案】A 【解析】 ∵,∴角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上. ∴∴.故选A. 考点4 扇形的弧长及面积公式 【典例7】(2019·甘肃高三月考(理))若一个扇形的周长与面积的数值相等,则该扇形所在圆的半径不可能等于(  ) A.5 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 因为扇形的周长与面积的数值相等,所以设扇形所在圆的半径为R,扇形弧长为l,则lR=2R+l,所以即是lR=4R+2l, ∴l= ∵l>0,∴R>2 故选:B. 【总结提升】 (1) 弧度制下l=|α|·r,S=lr,此时α为弧度.扇形面积公式,扇形中弦长公式,扇形弧长公式在角度制下,弧长l=,扇形面积S=,此时n为角度,它们之间有着必然的联系. (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形. 【变式7】(2018·湖北高考模拟(理))《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为,弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )平方米.(其中,) A.15 B.16 C.17 D.18 【答案】B 【解析】 因为圆心角为,弦长为,所以圆心到弦的距离为半径为40, 因此根据经验公式计算出弧田的面积为, 实际面积等于扇形面积减去三角形面积,为, 因此两者之差为,选B. 考点5 单位圆、三角函数线的应用 【典例8】(2018年文北京卷)在平面坐标系中,是圆上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角以O????为始边,OP为终边,若,则P所在的圆弧是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由下图可得:有向线段为余弦线,有向线段为正弦线,有向线段为正切线. A选项:当点在上时,,,故A选项错误;B选项:当点在上时,,,,故B选项错误;C选项:当点在上时,,,,故C选项正确;D选项:点在上且在第三象限,,故D选项错误.综上,故选C. 【规律方法】 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1)用边界值定出角的终边位置. (2)根据不等式(组)定出角的范围. (3)求交集,找单位圆中公共的部分. (4)写出角的表达式. 【变式8】(2018年5月3日 三角函数线)作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: (1);(2)–. 【答案】(1)见解析.(2)见解析. 【解析】(1)∵∈(,π), ∴作出角的终边如图所示,交单位圆于点P, 作PM⊥x轴于M,则有向线段MP=sin,有向线段OM=cos, 设过A(1,0)垂直于x轴的直线交OP的反向延长线于T, 则有向线段AT=tan, 综上所述,图(1)中的有向线段MP、OM、AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线; (2)∵–∈(–π,–), ∴在第三象限内作出–角的终边如图所示,交单位圆于点P', 用类似(1)的方法作图,可得图(2)中的有向线段M'P'、OM'、A'T'分别为–角的正弦线、余弦线、正切线.

    • 2019-08-25
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  • ID:3-6161602 (浙江版)2020年高考数学一轮复习:解三角形及其应用举例(讲解)

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    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:解三角形及其应用举例(讲解) 第四章 三角函数与解三角形 解三角形及其应用举例 1. 掌握正弦定理、余弦定理及其应用. 2.高考预测: (1)测量距离问题; (2测量高度问题; (3)测量角度问题. (4)主要是利用定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题,关键是弄懂有关术语,认真理解题意. 从浙江卷来看,本节是高考中的一个“冷考点”.三角形中的应用问题,主要是结合直角三角形,考查边角的计算,也有与导数结合考查的情况. 3.备考重点: (1)掌握正弦定理、余弦定理; (2)掌握几种常见题型的解法. (3)理解三角形中的有关术语. 知识点1.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图1). (2)方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图2). (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图3) ①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向. ②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向. ③南偏西等其他方向角类似.     (4)坡度: ①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4,角θ为坡角). ②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4,i为坡比). 【典例1】(2019·福建高考模拟(理))如图,为了测量某湿地两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点.从点测得,从点测得,,从点测得.若测得,(单位:百米),则两点的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据题意,在△ADC中,∠ACD=45°,∠ADC=67.5°,DC=2, 则∠DAC=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,则AC=DC=2, 在△BCE中,∠BCE=75°,∠BEC=60°,CE, 则∠EBC=180°﹣75°﹣60°=45°, 则有,变形可得BC, 在△ABC中,AC=2,BC,∠ACB=180°﹣∠ACD﹣∠BCE=60°, 则AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB=9, 则AB=3; 故选:C. 【总结提升】 研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. 【变式1】(2018届广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上期中联考)如图,从气球上测得正前方的河流的两岸, 的俯角分别为, ,此时气球的高是,则河流的宽度等于 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为从气球上测得正前方的河流的两岸, 的俯角分别为, ,,,,故选C. 考点1 测量距离问题 【典例2】(2019·福建高考模拟(文))海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径,两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点,,测得,,,,则,两点的距离为________. 【答案】 【解析】 由已知,△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°, ∴∠DAC=15°由正弦定理得, △BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°, ∴∠DBC=30°, 由正弦定理,, 所以BC; △ABC中,由余弦定理, AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB= 解得:AB, 则两目标A,B间的距离为. 故答案为:. 【总结提升】 测量距离问题,归纳起来常见的命题角度有: (1)两点都不可到达; (2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达. 【变式2】(2019·四川高考模拟(理))海上一艘轮船以的速度向正东方向航行,在处测得小岛在北偏西的方向上,小岛在北偏东的方向上,航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上,小岛在北偏西的方向上,则两个小岛间的距离______. 【答案】 【解析】 在中,由题意可得 ∴由正弦定理 ∴ ∵在中,由于 由正弦定理可得 可得 ∴中,由余弦定理可得 ∴解得 即C、D之间的距离为 故答案为. 考点2 测量高度问题 【典例3】(2018·上海高考模拟)如图,某学生社团在校园内测量远处某栋楼的高度,为楼顶,线段的长度为,在处测得,在处测得,且此时看楼顶的仰角,已知楼底和、在同一水平面上,则此楼高度________(精确到) 【答案】 【解析】 在△ABD中,由正弦定理,得:,由AB=600,得: BD==300,在Rt△BCD中,因为,所以,CD=BD=150≈212, 故答案为. 【总结提升】 求解高度问题的三个关注点 (1)在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键. (2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. (3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. 【变式3】(2018届山东、湖北部分重点中学高考冲刺(二))我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》.内有一篇:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?”请你计算出海岛高度为__________步. (参考译文:假设测量海岛,立两根标杆,高均为5步,前后相距1000步,令前后两根标杆和岛在同一直线上,从前标杆退行123 步, 人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰,从后标杆退行127步, 人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰,问岛高多少? 岛与前标杆相距多远?)(丈、步为古时计量单位,当时是“三丈=5步”) 【答案】1255步 【解析】如图所示,设岛高步,与前标杆相距步, 由相似三角形的性质有, 解得:,则海岛高度为1255步. 考点3 测量角度问题 【典例4】在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值. 【答案】 【解析】如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇, 则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°. 根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240xcos 120°, 解得x=2. 故AC=28,BC=20. 根据正弦定理得=, 解得sin α==. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为. 【总结提升】 1.解决角度问题的注意事项 (1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值. (3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 2.测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 提醒:方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 【变式4】某沿海四个城市、、、的位置如图所示,其中,,,,, 位于的北偏东方向.现在有一艘轮船从出发以的速度向直线航行, 后,轮船由于天气原因收到指令改向城市直线航行,收到指令时城市对于轮船的方位角是南偏西度,则__________. 【答案】 【解析】设船行驶至,则,连接,过作于,则,, ,,所以,所以,又, ,可得,所以,故. 考点4 应用正弦定理、余弦定理解决实际问题 【典例5】(2019·横峰中学高考模拟(文))横峰中学的平面示意图如图所示的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB、BC、CD、DE、EA、BE为学校主要道路(不考虑宽度),. (1)求道路BE的长度; (2)求生活区ABE面积的最大值. 【答案】(1);(2). 【解析】 (1)如图所示,连接,在中, 由余弦定理可得, 解得, 因为,所以 又由,所以, 在直角中,, (2)设,因为,所以, 在中,由正弦定理可得, 所以, 所以 当且仅当时,即时,取得最大面积, 即生活区面积的最大值为. 【规律方法】 利用解三角形知识解决实际问题要注意根据条件画出示意图,结合示意图构造三角形,然后转化为解三角形的问题进行求解. 【变式5】(2018·江苏高三月考)某校在圆心角为直角,半径为的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示,在相距的,两个位置分别为300,100名学生,在道路上设置集合地点,要求所有学生沿最短路径到点集合,记所有学生进行的总路程为. (1)设,写出关于的函数表达式; (2)当最小时,集合地点离点多远? 【答案】(1), (2)集合地点离出发点的距离为时,总路程最短,其最短总路程为. 【解析】 (1)因为在中,,,所以由正弦定理可知, 解得,,且, 故, (2)令,则有,令得 记,,列表得 0 ↘ 极小值 ↗ 可知,当且仅当时,有极小值也是最小值为, 当时,此时总路程有最小值. 答:当集合点离出发点的距离为时,总路程最短,其最短总路程为.

    • 2019-08-25
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  • ID:3-6161598 (浙江版)2020年高考数学一轮复习:简单的三角恒等变换(讲解)

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    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:简单的三角恒等变换(讲解) 第四章 三角函数与解三角形 简单的三角恒等变换 1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式. 2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 3.高考预测: (1)和(差)角公式; (2)二倍角公式; (3)和差倍半的三角函数公式的综合应用. (4)对于三角恒等变换,高考命题主要以公式的基本运用(正用、逆用、变用)、计算为主,其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查. 4.备考重点: (1) 掌握和差倍半的三角函数公式; (2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧. 知识点1.两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ; C(α+β):cos(α+β)=cosαcos_β-sin_αsinβ; S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cosαsinβ; T(α+β):tan(α+β)=; T(α-β):tan(α-β)=. 变形公式: tan α±tan β=tan(α±β)(1?tanαtanβ); . 函数f(α)=acos α+bsin α(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=cos(α-φ),其中φ可由a,b的值唯一确定. 【典例1】(2019·江西高考模拟(文))如图,点A为单位圆上一点, 点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B(-,)则cos=( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得: 故选A 【总结提升】 三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”. (2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用. (3)使用公式求值,应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用. 【变式1】(2019·四川高考模拟(理))已知,,则 ( ) A. B.7 C. D. 【答案】C 【解析】 ∴ 则 故选:C. 知识点2.二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式: S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; T2α:tan 2α=. 变形公式: cos2α=,sin2α= 1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2 【典例2】(2017·全国高考真题(文))已知,则( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 所以选A. 【总结提升】 明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换技巧,及半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,+=,=2×等. 【变式2】(2019·河南高考模拟(理))已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题,则 故 故选:A 考点1 两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用 【典例3】(2019·北京高考模拟(文))如图,在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,终边分别是射线OA和射线OB.射线OA,OC与单位圆的交点分别为,.若,则的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 依题意,有:,,,, =. 故答案为:C. 【总结提升】三角函数求值的两种类型: (1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用; ②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的. 【变式3】(2019·河南鹤壁高中高考模拟(文))平面直角坐标系中,点是单位圆在第一象限内的点,,若,则为_____. 【答案】 【解析】 由题意知:,,由,得, ,故答案为:. 考点2 两角和与差的正切公式的应用 【典例4】(2018年全国卷II文)已知,则__________. 【答案】. 【解析】 , 解方程得. 【规律方法】 1.运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练,准确,而且要熟悉公式的逆用及变形,如tan α+tan β=tan(α+β)·(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 2.应熟悉公式的逆用和变形应用,公式的正用是常见的,但逆用和变形应用则往往容易被忽视,公式的逆用和变形应用更能开拓思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力,只有熟悉了公式的逆用和变形应用后,才能真正掌握公式的应用. 提醒:在T(α+β)与T(α-β)中,α,β,α±β都不等于kπ+(k∈Z),即保证tan α,tan β,tan(α+β)都有意义;若α,β中有一角是kπ+(k∈Z),可利用诱导公式化简. 【变式4】(2019·黑龙江哈尔滨三中高考模拟(理))已知是第二象限角,且,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由,得. 因为是第二象限角,所以. . . 故选C. 考点3 二倍(半)角公式的应用 【典例5】(2016·全国高考真题(理))若,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 且,故选D. 【总结提升】 转化思想是实施三角变换的主导思想,恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化.注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系. (2)注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式. 【变式5】(2019·湖北高三月考(文))已知α是第一象限角,,则=(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵α是第一象限角,, ,k∈Z, ∴kπkπ,k∈Z, ∴0<1,∴sinα=2sincos, 整理得: ,解得(舍去)或.故选D. 考点4简单的三角恒等变换---化简与证明 【典例6】求证:. 【解析】左边=+ =右边. 故原式得证. 【总结提升】 1.三角函数式化简的方法 (1)弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. (2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次,去掉根号. 2.三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边,相当于解决化简题目. (2)等式两边同时变形,变形后的结果为同一个式子. (3)先将要证明的式子进行等价变形,再证明变形后的式子成立. 提醒:开平方时正负号的选取易出现错误,所以要根据已知和未知的角之间的关系,恰当地把角拆分,根据角的范围确定三角函数的符号. 3.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的变换,从而正确使用公式. (2)二看“名”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”或“弦化切”. (3)三看“形”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等. 【变式6】(2018届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研)已知,满足,则的最大值为______. 【答案】. 【解析】由, 得 化为 , , , 的最大值为, 故答案为.

    • 2019-08-25
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  • ID:3-6161412 (浙江版)2020年高考数学一轮复习:利用导数研究函数的极值,最值(讲解)

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    (浙江版)2020年高考数学一轮复习:利用导数研究函数的极值,最值(讲解) 第三章 导 数 利用导数研究函数的极值,最值 1. 了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件,会用导数求函数的极大值、极小值,会求闭区间上函数的最大值、最小值,会用导数解决某些实际问题. 2. 高考预测: (1)以研究函数的单调性、单调区间、极值(最值)等问题为主,与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合,且有综合化更强的趋势. (2)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现,综合研究函数的性质以大题呈现; (3)适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点: (1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础; (2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值(最值)的基本方法,灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等,分析问题解决问题. 知识点1.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 【典例1】(2018年文北京卷)设函数. (Ⅰ)若曲线在点处的切线斜率为0,求a; (Ⅱ)若在处取得极小值,求a的取值范围. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】(Ⅰ)因为,所以. ,由题设知,即,解得. (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得. 若a>1,则当时,;当时,.所以在x=1处取得极小值. 若,则当时,,所以.所以1不是的极小值点. 综上可知,a的取值范围是.方法二:. (1)当a=0时,令得x=1.随x的变化情况如下表: x 1 + 0 ? ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值,不合题意. (2)当a>0时,令得.①当,即a=1时,, ∴在上单调递增,∴无极值,不合题意. ②当,即01时,随x的变化情况如下表: x + 0 ? 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在x=1处取得极小值,即a>1满足题意. (3)当a<0时,令得.随x的变化情况如下表: x ? 0 + 0 ? ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为. 【规律方法】 求函数f(x)极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数f′(x); (3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. 【变式1】(2019·北京高三期末(理))已知函数. (Ⅰ)若曲线在处的切线方程为,求的值; (Ⅱ)求函数在区间上的极值. 【答案】(Ⅰ)0(Ⅱ)详见解析 【解析】 (Ⅰ)因为, 所以, 所以. 因为在处的切线方程为. 所以, 解得. (Ⅱ)因为,, 所以, ①当,即时,在恒成立, 所以在单调递增; 所以在无极值; ②当,即时,在恒成立, 所以在单调递减, 所以在无极值; ③当,即时, 变化如下表: - 0 + 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 因此,的减区间为,增区间为. 所以当时,有极小值为,无极大值. 知识点2.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 【典例2】(2017北京,理19)已知函数. (Ⅰ)求曲线在点处的切线方程; (Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)最大值1;最小值. 【解析】 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为,最小值为. 【规律方法】 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b); (3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 【变式2】(2019·天津高三期中(理))已知函数在处有极值. (Ⅰ)求、的值; (Ⅱ)在时,求函数的最值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)最大值为2,最小值为. 【解析】 (Ⅰ)由函数的解析式可得:, 则,即:,解得:. 经检验符合题意. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知:,, 令可得或, 由于:,,, 故函数的最大值为,函数的最小值为. 考点1 函数极值的辨析 【典例3】(2018·浙江高考模拟)已知 a>0 且 a≠1,则函数 f (x)=(x-a)2lnx( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,又无极小值 【答案】C 【解析】 由题意,,由,得或,由方程,结合函数图象,作出和的图象, 结合图象得和的图象有交点,∴方程有解,由此根据函数的单调性和极值的关系得到:函数既有极大值,又有极小值具有极大值,也有极小值,故选C. 【易错提醒】 (1)可导函数y=f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)=0,且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同; (2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值. 【变式3】(2018·吉林省实验高三期中(文))设可导函数在R上图象连续且存在唯一极值,若在x=2处,f(x)存在极大值,则下列判断正确的是( ) A.当时,,当时,. B.当时,,当时,. C.当时,,当时,. D.当时,,当时,. 【答案】A 【解析】 ∵函数的定义域为R,且在处存在唯一极大值, ∴当时函数单调递增,当时函数单调递减, ∴当时,,当时,. 故选A. 考点2 已知函数求极值点的个数 【典例4】(2019·河南高考模拟(文))已知函数. (1)若,求曲线在点处的切线方程; (2)求函数的极值点个数. 【答案】(1);(2)见解析 【解析】 (1)依题意,,故, 又,故所求切线方程为. (2)依题意. 令,则,且当时,当时,, 所以函数在单调递减,在单调递增,, 当时,恒成立,. 函数在区间单调递增,无极值点; 当时,, 故存在和,使得, 当时,, 当时,, 当时,,所以函数在单调递减,在和单调递增,所以为函数的极大值点,为函数的极小值点. 综上所述,当时,无极值点;当时,有个极值点. 【易错提醒】 极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号. 【变式4】(2018·全国高考模拟(理))设,则函数( ) A.仅有一个极小值 B.仅有一个极大值 C.有无数个极值 D.没有极值 【答案】A 【解析】 ,得. 设,则. 即为增函数,且. 所以当,则单调递减; 当,则单调递增, 且. 所以函数 仅有一个极小值. 故选A. 考点3 已知函数求极值(点) 【典例5】(2017·山东高考真题(文))已知函数. (I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程; (II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析. 【解析】 (Ⅰ)由题意, 所以,当时, ,, 所以, 因此,曲线在点处的切线方程是, 即. (Ⅱ)因为, 所以, , 令, 则, 所以在上单调递增, 因为, 所以,当时, ;当时, . (1)当时,, 当时, , , 单调递增; 当时, , , 单调递减; 当时, , , 单调递增. 所以当时取到极大值,极大值是, 当时取到极小值,极小值是. (2)当时,, 当时, , 单调递增; 所以在上单调递增, 无极大值也无极小值. (3)当时,, 当时, , , 单调递增; 当时, , , 单调递减; 当时, , , 单调递增. 所以当时取到极大值,极大值是; 当时取到极小值,极小值是. 综上所述: 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是,极小值是; 当时,函数在上单调递增,无极值; 当时,函数在和上单调递增,在上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是,极小值是. 【总结提升】 (1)求函数f(x)极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;④检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 【变式5】(2019·浙江高三开学考试)已知函数 (1)判断的单调性; (2)若函数存在极值,求这些极值的和的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 (1)因为,所以,令. ,即时,恒成立,此时,所以函数在上为减函数;,即或时,有不相等的两根,设为(),则,.当或时,,此时,所以函数在和上为减函数;当时,,此时,所以函数在上为增函数. (2)对函数求导得. 因为存在极值,所以在上有解,即方程在上有解,即.显然当时,无极值,不合题意,所以方程必有两个不等正根. 设方程的两个不等正根分别为,则,由题意知 , 由得, 即这些极值的和的取值范围为. 考点4 已知极值(点),求参数的值或取值范围 【典例6】(2018·北京高考真题(文))设函数. (Ⅰ)若曲线在点处的切线斜率为0,求a; (Ⅱ)若在处取得极小值,求a的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)因为, 所以. , 由题设知,即,解得. (Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)得. 若a>1,则当时,; 当时,. 所以在x=1处取得极小值. 若,则当时,, 所以. 所以1不是的极小值点. 综上可知,a的取值范围是. 方法二:. (1)当a=0时,令得x=1. 随x的变化情况如下表: x 1 + 0 ? ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值,不合题意. (2)当a>0时,令得. ①当,即a=1时,, ∴在上单调递增, ∴无极值,不合题意. ②当,即01时,随x的变化情况如下表: x + 0 ? 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴在x=1处取得极小值,即a>1满足题意. (3)当a<0时,令得. 随x的变化情况如下表: x ? 0 + 0 ? ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴在x=1处取得极大值,不合题意. 综上所述,a的取值范围为. 【规律方法】 由函数极值求参数的值或范围. 讨论极值点有无(个数)问题,转化为讨论f′(x)=0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围,特别注意:极值点处的导数为0,而导数为0的点不一定是极值点,要检验极值点两侧导数是否异号. 【变式6】(2019·江西省抚州市第一中学高三期末(文))已知函数. (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ)若,令,若,是的两个极值点,且,求正实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)t . 【解析】 (Ⅰ)由, ,则 当时,则,故在上单调递减; 当时,令,所以在上单调递减,在上单调递增 综上所述:当时,在上单调递减; 当时,在上单调递减,在上单调递增. (Ⅱ), 故,当时,恒成立,故在上单调递减,不满足有两个极值点,故. 令,得,, 又有两个极值点;故有两个根. 故且或; 且为极小值点,为极大值点. 故 令,由或得 令, 当时,,则在上单调递增,故,则时成立; 当时,,则在上单调递增,故,则时; 综上所述: 考点5 利用导数求函数的最值 【典例7】(2019·全国高考真题(文))已知函数. (1)讨论的单调性; (2)当时,记在区间的最大值为,最小值为,求的取值范围. 【答案】(1)见详解;(2) . 【解析】 (1)对求导得.所以有 当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增; 当时,区间上单调递增; 当时,区间上单调递增,区间上单调递减,区间上单调递增. (2) 若,在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为.而,故所以区间上最大值为. 所以,设函数,求导当时从而单调递减.而,所以.即的取值范围是. 若,在区间单调递减,在区间单调递增,所以区间上最小值为而,故所以区间上最大值为. 所以,而,所以.即的取值范围是. 综上得的取值范围是. 【易错提醒】 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. 【变式7】(2019·新疆高考模拟(文))已知函数(其中e是自然对数的底数). Ⅰ当时,求的最小值; Ⅱ当时,求在上的最小值. 【答案】(I);(II) 【解析】 (I)时, 当时,;当时, 在上单调递减,在上单调递增 当时,取得最小值 (II), 令得 作出和的函数图象如图所示: 由图象可知当时, ,即 当时, ,即 在上单调递减,在上单调递增 的最小值为 考点6 根据函数的最值求参数的值(范围) 【典例8】(2019·北京高考模拟(理))已知函数. (Ⅰ)求曲线在处的切线方程; (Ⅱ)求在上的单调区间; (Ⅲ)当时,证明:在上存在最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅲ)详见解析. 【解析】 (Ⅰ)因为,所以 则,,所以切线方程为 (Ⅱ)令,即,,得 当变化时,变化如下: 0 减 最小值 增 所以函数的单调递减区间为,单调递增区间为 (Ⅲ)因为,所以 令,则 因为,所以 所以即在内有唯一解 当时,,当时,, 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以,又因为 所以在内有唯一零点 当时,即, 当时,即, 所以在上单调递减,在上单调递增. 所以函数在处取得最小值 即时,函数在上存在最小值 【易错提醒】 求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小. 【变式8】(2019·北京高考模拟(文))设函数若,则的最小值为__________; 若有最小值,则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 (1)当a=1, ,= ()=()>0,1>x>ln2; ()<0,x0时,()单调递增,故 对=, 当0ln2, 由(1)知,此时最小值为,即有最小值,综上a 故答案为 ;

    • 2019-08-25
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