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    中小学教育资源及组卷应用平台 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第5讲 初等数论初步、优选法与试验设计初步(一)大全集练习题 一.选择题(共15小题) 1.下列问题是优选问题的有(  ) ①手工制作玻璃钢模型舰艇,采用何种型号环氧树脂、固化剂,才能使作品的硬度和韧性适宜; ②炸酱面如何配料使口感更好;③膏豆腐的制作过程中,如何配制热石膏同豆浆的关系,才能使豆腐作出后不老不嫩. A.①③ B.②③ C.①②③ D.① 2.用0.618法确定试点,则经过4次试验后,存优范围缩小为原来的(  ) A.0.618 B.0.6183 C.0.6184 D.0.6185 3.某试验因素对应的目标函数是单峰函数,若用分数法需要从12个试点中找到最佳点,需要做试验的次数是(  ) A.4次 B.5次 C.6次 D.3次 4.关于正交表的特性,下列说法不正确的是(  ) A.任一因素的任一水平与其他因素的每一水平相碰一次,且仅碰一次,搭配均匀 B.各因素的最优水平组合,一定是正交表中某一试验号的搭配组合 C.每一列中,不同的数字出现的次数相等,即同一因素的任一水平在试验中出现的机会相等 D.任意两列,任何两因素的各种水平搭配,在试验中出现的机会均相等 5.可以整除26n﹣3+32n﹣1其中(n∈N*)的是(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 6.把88化为五进制数是(  ) A.324(5) B.323(5) C.233(5) D.332(5) 7.下列特称命题中真命题的个数是(  ) ①?x∈R,x≤0; ②至少有一个整数,它既不是合数,也不是素数; ③?x∈|x|x是无理数|,x2是无理数. A.0 B.1 C.2 D.3 8.数4557,1953,5115的最大公约数为(  ) A.93 B.31 C.651 D.217 9.225与135的最小公倍数是(  ) A.6075 B.3375 C.2025 D.675 10.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设a,b,m(m>0)为整数,若a和b被m除得余数相同,则称a和b对模m同余.记为a=b(modm).若a=C+C?2+C?22+…+C230,a=b(mod10),则b的值可以是(  ) A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 11.数80100除以9所得余数是(  ) A.0 B.8 C.﹣1 D.1 12.用“秦九韶”算法计算多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1当x=2时的值时,需要做乘法和加法的次数分别为(  ) A.4,4 B.4,5 C.5,4 D.5,5 13.下列各数中最小的一个是(  ) A.111111(2) B.210(6) C.1000(4) D.81(9) 14.某个凸多面体有32个面,各面是三角形或五边形,每个顶点处的棱数都相等,则这个凸多面体的顶点数可以是(  ) A.60 B.45 C.30 D.15 15.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下条件:(1)在闭区间[a,b]上是连续不断的;(2)在区间(a,b)上都有导数,则在区间(a,b)上至少存在一个数?,使得f(b)﹣f(a)=f′(?)(b﹣a),其中?称为拉格朗日中值,则g(x)=ex在区间[0,2]上的拉格朗日中值?=(  ) A.ln B.ln C.ln D.ln 二.填空题(共14小题) 16.如图为平行线加速法试验结果图,若A3为最佳点,则最佳点为   . 17.在某一均匀分批试验中,已知因素区间为[20,80],则首次安排的两个试点值是   . 18.配制某种饮料,需要加入某种配料.经验表明,加入量超过130ml肯定不好,用130ml的锥形量杯加入量,该量杯的量程分为13格,每格代表10ml,若用分数法安排各试验点的测试,则第一次和第二次的试点是   ml和   ml. 19.将八进制数135(8)化为二进制数为   . 20.二进制数101(2)转化为十进制数的结果是   . 21.只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数,41,43,47,53,61,71,83,97是一个由8个质数组成的数列,小王同学正确地写出了它的一个通项公式,并根据通项公式得出数列的后几项,发现它们也是质数.试写出一个数P满足小王得出的通项公式,但它不是质数.P=   . 22.两个正整数840与1764的最大公约数为   . 23.求1356和2400的最小公倍数   . 24.设a,b,m为正整数,若a和b除以m的余数相同,则称a和b对m同余.记a≡b(bmodm),已知a=2+2×3+2×32+…+2×32014,b≡a(bmod3),则b的值可以是   (写出以下所有满足条件的序号)①1007;②2013;③2014;④2015. 25.“韩信点兵”问题在我国古代数学史上有不少有趣的名称,如“物不知数”“鬼谷算”“隔墙算”“大衍求一术”等,其中《孙子算经》中“物不知数”问题的解法直至1852年传由传教士传入至欧洲,后验证符合由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. 原文如下:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”这是一个已知某数被3除余2,被5除余3,被7除余2,求此数的问题.现将1至2017这2017个数中满足条件的数按由小到大的顺序排成一列数,则中位数为   . 26.把二进制数10011(2)转化为十进制的数为   . 27.正二十边形的对角线的条数是   . 28.法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下条件: (1)在闭区间[a,b]上是连续不断的; (2)在区间(a,b)上都有导数. 则在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)﹣f(a)=f'(t)(b﹣a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=x2在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=   . 29.若关于x、y的二元一次方程组有无穷多解,则λ=   . 三.解答题(共11小题) 30.求满足,且1≤x、y、z、u≤10的所有四元有序整数组(x,y,z,u)的个数. 31.设(n∈N*,an∈Z,bn∈Z). (1)求证:an2﹣8bn2能被7整除; (2)求证:bn不能被5整除. 32.把“五进制”数1234(5)转化为“十进制”数,再把它转化为“八进制”数. 33.设a,b,c是素数,记x=b+c﹣a,y=c+a﹣b,z=a+b﹣c,当z2=y,﹣=2时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论. 34.多项式4(x2+1)+(x+1)2(x﹣3)+(x﹣1)3等于下列哪一个选项? (1)x(x+1)2(2)2x(x﹣1)2(3)x(x﹣1)(x+1) (4)2(x﹣1)2(x+1)(5)2x(x﹣1)(x+1) 35.若a,b是两个正整数,阅读如图的伪代码. (1)写出此伪代码的算法功能. (2)参照此伪代码,写出求两数a,b的最小公倍数的伪代码.(注:两数的最小公倍数等于这两数的积除以这两数的最大公约数) 36.设p是一个素数,p≡3(mod 4),设x,y是整数,满足p|x2﹣xy+.求证:存在整数u,v使得x2﹣xy+. 37.设a为44444444各位数字和,b是a的各位数字之和,c为b的各位数字之和,求c的值. 38.证明:数a=1?2?3…2011+2012?2013…4022能被b=2011+2012整除. 39.下面(a)(b)(c)(d)为四个平面图: (1)数出每个平面图的顶点数、边数、区域数(不包括图形外面的无限区域),并将相应结果填入表: 顶点数 边数 区域数 (a) 4 6 3 (b) 12 (c) 6 (d) 15 (2)观察表,若记一个平面图的顶点数、边数、区域数分别为E、F、G,试推断E、F、G之间的等量关系; (3)现已知某个平面图有2009个顶点,且围成2009个区域,试根据以上关系确定该平面图的边数. 40.解方程组:. 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第5讲 初等数论初步、优选法与试验设计初步(一)大全集练习题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共15小题) 1.答案:C 解答:在①中,手工制作玻璃钢模型舰艇,采用何种型号环氧树脂、固化剂,才能使作品的硬度和韧性适宜, 从使作品的硬度和韧性适宜方面说明了优选问题的普遍性,故①属于优选问题; 在②中,炸酱面如何配料使口感更好,从使口感更好方面说明了优选问题的普遍性,故②属于优选问题; 在③中,豆腐的制作过程中,如何配制热石膏同豆浆的关系,才能使豆腐作出后不老不嫩, 从使豆腐作出后不老不嫩方面说明了优选问题的普遍性,故③属于优选问题. 故选:C. 2.答案:B 解答:由n次试验后的精度0.618n﹣1可知, 4次后的精度为0.6183, 即存优范围缩小为原来的0.6183, 故选:B. 3.答案:B 解答:某试验因素对应的目标函数是单峰函数, 用分数法需要从12个试点中找到最佳点, ∵12=13﹣1=F6﹣1=F5+1﹣1, 由分数法的最优性知: 至多做到次试验就能找到其中的最佳点. 故选:B. 4.答案:B 解答:在A中,由正交性得到任一因素的任一水平与其他因素的每一水平相碰一次,且仅碰一次,搭配均匀,故A正确; 在B中,各因素的最优水平组合,不一定是正交表中某一试验号的搭配组合,故B错误; 在C中,由正交性得每一列中,不同的数字出现的次数相等,即同一因素的任一水平在试验中出现的机会相等,故C正确; 在D中,由正交性得任意两列,任何两因素的各种水平搭配,在试验中出现的机会均相等,故D正确. 故选:B. 5.答案:C 解答:26n﹣3+32n﹣1=82n﹣1+32n﹣1=(11﹣3)2n﹣1+32n﹣1 =++…++32n﹣1 =++…+, 因为26n﹣3+32n﹣1的每一项都能被11整除, 故可以整除26n﹣3+32n﹣1的是11. 故选:C. 6.答案:B 解答:∵88÷5=17…3, 17÷5=3…2 3÷5=0…3 ∴用倒取余数法 得到五进制对应的数字是323 故选:B. 7.答案:D 解答:①?x∈R,x≤0为真命题 ②至少有一个整数例如1,它既不是合数,也不是素数,故②为真命题 ③例如x=是无理数,x2仍然是无理数,从而可得?x{x|x是无理数},x2是无理数为真命题 从而可知真命题的个数为3个 故选:D. 8.答案:A 解答:4557=1953×2+651 1953=651×3 ∴4557,1953的最大公约数是651; 5115=4557×1+558 4557=558×8+93 558=93×6, 故4557,5115的最大公约数为93, 由于651=93×7 三个数4557,1953,5115的最大公约数93. 故选:A. 9.答案:D 解答:225=52×32,135=33×5. ∴225与135的最小公倍数=52×33=675. 故选:D. 10.答案:A 解答:若a=C+C?2+C?22+…+C230, 由二项式定理可得a=(1+2)30=330, ∵31个位是3,32个位是9,33个位是7,34个位是1,35个位是3,… ∴330个位是9, 若a≡b(mod10),则b的个位也是9, 故选:A. 11.答案:D 解答:因为80100=(81﹣1)100=C100081100﹣C10018199+…﹣C1009981+1. 显然展开式中出最后一项不含81,其余各项都能被81整除, 所以80100除以9所得余数是为1. 故选:D. 12.答案:D 解答:多项式f(x)=5x5+4x4+3x3+2x2+x+1=((((5x+4)x+3)x+2)x+1)x+1不难发现要经过5次乘法5次加法运算. 故需要做乘法和加法的次数分别为:5、5 故选:D. 13.答案:A 解答:81(9)=8×9+1=73; 210(6)=2×62+1×6=78; 1000(4)=1×43=64; 111111(2)=25+24+23+22+21+20=63. 故11111(2)最小, 故选:A. 14.答案:C 解答:设这个凸多面体有n个面是三角形,则是五边形的面有32﹣n个,此时总棱数 条. 由欧拉定理可知,V+32﹣E=2, ∴V=50﹣n. 又设每个顶点处的棱数为m条(其中3≤m≤5且m∈N*), 由于每个顶点处的棱数都相等,则总棱数条, 由欧拉定理可知,, ∴50﹣n=(其中3≤m≤5且m∈N*).然后讨论这个不定方程的自然数解: 当m=3时,可得n=﹣10,不合题意,舍去; 当m=4时,可得n=20,∴V=30; 当m=5时,可得n=30,∴V=20. 故选:C. 15.答案:A 解答:∵g(x)=ex在[0,2]上连续,且在(0,2)上可导, ∴根据拉格朗日中值定理有,g(2)﹣g(0)=2g'(?), ∴2e?=e2﹣e0=e2﹣1,∴. 故选:A. 二.填空题(共14小题) 16.答案:见试题解答内容 解答:如图为平行线加速法试验结果图, A3为最佳点, 结合图形得最佳点为(1,3). 故答案为:(1,3). 17.答案:见试题解答内容 解答:如图所示,在20到80之间插入2个点把试验范围平均分成三份, 其中分点40,60就是首次安排的两个试点值. 故答案为:40,60. 18.答案:见试题解答内容 解答:在数列,,,,…,中, 我们可得:F4=5,F5=8,F6=13 如下图所示: 则:=80, x2=0+130﹣80=50, 故故第一次的试点为80,第二次的试点为50, 故答案为:80,50. 19.答案:见试题解答内容 解答:135(8)=1×82+3×81+5×80=93(10). 利用“除2取余法”可得 93(10)=1011101(2). 故答案为:1011101(2). 20.答案:见试题解答内容 解答:由题意可得,(101)2=1×22+0×21+1×20=5. 故答案为:5. 21.答案:见试题解答内容 解答:∵43﹣41=2,47﹣43=4,53﹣47=6,61﹣53=8,71﹣61=10…, ∴a2﹣a1=2,a3﹣a2=4,a4﹣a3=6,…,an﹣an﹣1=2(n﹣1), ∴通项公式是an=41+2+4+6+…+2(n﹣1)=n(n﹣1)+41, 取n=41,得an=41×41=1681显然不是质数显然. 故答案为:1681. 22.答案:见试题解答内容 解答:∵1764=840×2+84, 840=84×10, ∴两个正整数840与1764的最大公约数为84. 故答案为:84. 23.答案:见试题解答内容 解答:∵2400=1356×1+1044, 1356=1044×1+312, 1044=312×3+108, 312=108×2=96, 108=96×1+12, 96=12×6, 故1356和2400的最大公约数为12, 故1356和2400的最小公倍数为1356×2400÷12=271200, 故答案为:271200. 24.答案:见试题解答内容 解答:∵a=2+2×3+2×32+…+2×32004, ∴a÷3的余数是2. ①∵1007=335×3+2, ∴满足b≡a(mod3); ②∵2013=671×3+0, ∴不满足b≡a(mod3); ③∵2014=671×3+1, ∴不满足b≡a(mod3); ④∵2015=671×3+2, ∴满足b≡a(mod3). 故答案为:①④. 25.答案:见试题解答内容 解答:从3 和5 的公倍数中找出被7 除余1 的最小数15, 从3 和7 的公倍数中找出被 5 除余1 的最小数21, 最后从5 和7 的公倍数中找出除3 余1 的最小数70, 用15 乘以2(2 为最终结果除以7 的余数), 用21 乘以3(3 为最终结果除以5 的余数), 同 理,用70 乘以2(2 为最终结果除以3 的余数), 然后把三个乘积相加, 即15×2+21×3+70×2=233., 用 233 除以 3,5,7 三个数的最小公倍数 105,得到余数 23, ∴将1至2017这2017个数中满足条件的数按由小到大的顺序排成一列数,依次为: 23,128,233,338,443,548,653,758,863,968,1073,1178,1283,1388,1493,1598,1703,1808,1913, 中位数为:968. 故答案为:968. 26.答案:见试题解答内容 解答:10011(2)=1+1×2+1×24=19 故答案为:19 27.答案:见试题解答内容 解答:当n=20时,==170. 即二十边形的对角线有170条. 故答案为:170. 28.答案:见试题解答内容 解答:g(x)=x2,g(1)=1,g(0)=0. g′(x)=2x. 由拉格朗日中值定理可得:在区间(0,1)上至少存在一个实数t,使得g(1)﹣g(0)=g′(t)(1﹣0), ∴1﹣0=2t?(1﹣0),解得t=. 故答案为:. 29.答案:见试题解答内容 解答:关于x、y的二元一次方程组有无穷多解, 则直线λx﹣12y=2与5x+6y=﹣1重合,则==, 解得λ=﹣10. 故答案为:﹣10. 三.解答题(共11小题) 30.答案:见试题解答内容 解答:设f(a,b,c,d)=. 记A:{(x,y,z,u)|1≤x,y,z,u≤10,f(x,y,z,u)>0}, B:{(x,y,z,u)|1≤x,y,z,u≤10,f(x,y,z,u)<0}, C:{(x,y,z,u)|1≤x,y,z,u≤10,f(x,y,z,u)=0}, 显然card(A)+card(B)+card(C)=104. 我们证明card(A)=card(B).对每一个(x,y,z,u)∈A,考虑(x,u,z,y). (x,y,z,u)∈A?f(x,y,z,u)>0 ?>0 ?<0 ?f(x,y,z,u)<0 ?(x,u,z,y)∈B 接着计算card(C).(x,y,z,u)∈C??(z﹣x)(u﹣y)(xz﹣yu)=0 设C1={(x,y,z,u)|x=z,1≤x,y,z,u≤10},C2={(x,y,z,u)|x≠z,y=u,1≤x,y,z,u≤10},C3={(x,y,z,u)|x≠z,y≠u,xz=yu,1≤x,y,z,u≤10}.∵满足a×b=c×d,(a,b,c,d)为1、2、3、10的两两不同的无序四元组只有1×6=2×3,1×8=2×4,1×10=2×5,2×6=3×4,2×9=3×6,2×10=4×5,3×8=4×6,3×10=5×6,4×10=5×8. 满足x=y,z=u,x≠z的四元组共90个,满 足 x=z,y=u,x≠z的四元组共90个, card(C3)=4×2×9+90+90=252,card(C1)=1000,card(C2)=900. 所以,card(C)=2152,card(A)=3924. 31.答案:见试题解答内容 解答:证明:(1)(1+2)2n+1=+(2)+(2)2+…+(2)2n+1, (1﹣2)2n+1=﹣(2)+(2)2+…﹣(2)2n+1, 由(1+2)2n+1=an+2bn,(1﹣2)2n+1=an﹣2bn, (1+2)2n+1(1﹣2)2n+1=(an+2bn)(an﹣2bn), 即an2﹣8bn2=﹣72n+1, ∴an2﹣8bn2能被7整除; (2)由an2﹣8bn2=﹣72n+1,则8bn2=an2+72n+1, 由72n=49n=(50﹣1)n=×50n+×50n﹣1×(﹣1)1+…+×50×(﹣1)n﹣1+×(﹣1)n, 除最后一项都是5的倍数, ∴72n+1的余数是2或﹣2, 由an2的是平方数,其尾数为0,1,4,5,6,9, ∴an2+72n+1的尾数不可能是0或5, ∴an2+72n+1不能被5整除, 即8bn2不能被5整除, ∴bn不能被5整除. 32.答案:见试题解答内容 解答:1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194 ∵ ∴194=302(8) 即把“五进制”数1234(5)转化为“十进制”数,再把它转化为“八进制”数得到302. 33.答案:见试题解答内容 解答:不能. 依题意,得a=(y+z),b=(x+z),c=(x+y). 因为y=z2,所以a=(y+z)=(z2+z)=. 又由于z为整数,a为素数, 所以z=2或﹣3,a=3. 当z=2时,y=z2=4,x=(+2)2=16. 进而,b=9,c=10,与b,c是素数矛盾; 当z=﹣3时,a+b﹣c<0,所以a,b,c不能构成三角形的三边长. 34.答案:见试题解答内容 解答:设f(x)=4(x2+1)+(x+1)2(x﹣3)+(x﹣1)3 f(0)=4(0+1)+(0+1)2(0﹣3)+(0﹣1)3=0,故x为f(x)的因式; f(﹣1)=4(1+1)+(﹣1+1)2(﹣1﹣3)+(﹣1﹣1)3=0,故x+1为f(x)的因式; f(1)=4(1+1)+(1+1)2(1﹣3)+(1﹣1)3=0,故x﹣1为f(x)的因式; 所以可设f(x)=4(x2+1)+(x+1)2(x﹣3)+(x﹣1)3=kx(x﹣1)(x+1) x=2代入得4×5+9×(﹣1)+1=k×2×1×3,故k=2 故答案为:(5). 35.答案:见试题解答内容 解答:(1)由已知中的程序代码可得: 此伪代码求的是两个正整数a,b的最大公约数…(7分). (2)最小公倍数与最大公约数的积,等于两数的积, 故伪代码如图: …(14分). 36.答案:见试题解答内容 解答:证明:由已知p是一个素数,p≡3(mod 4),x,y是整数,满足p|x2﹣xy+. 可知p|(2x﹣y)2+py2,p|(2x﹣y)2. ∴p|(2x﹣y).设2x﹣y=pk, 则 = == ==,其中,v=k. ==. 命题得证. 37.答案:见试题解答内容 解答:由于10004444<44444444<100004444, 则:3×4444<lg44444444<4×4444, 则:a<9×(4444×4+1)×9=159993. 情形一:当a的个位为6时,则b≤1+4+9×4=41. 情形二:当a的个位小于6时,b≤5×9=45. 由情形一和情形二可知:b≤45. 情形三:当b的个位为2时,则c≤3+9=12, 情形四:当b的个位为1位数时,则c≤9. 由情形三和情形四可知:c≤12. 又:4444≡7(mod9),73≡1(mod9), 所以44444444≡74444=(73)1481×7≡7(mod9), 而44444444≡a≡b≡c≡7(mod9), 所以c=7. 38.答案:见试题解答内容 解答:证明:∵1?2?3…2011+2012?2013…4022 =[(1+2011)+(2012+4022)]×2011÷2 =8046×2011÷2=4023×2011 =(2011+2012)×2011, 故数a=1?2?3…2011+2012?2013…4022能被b=2011+2012整除 39.答案:见试题解答内容 解答:(1)填表如下: 顶点数 边数 区域数 (a) 4 6 3 (b) 8 12 5 (c) 6 9 4 (d) 10 15 6 (2)记一个平面图的顶点数、边数、区域数分别为E、F、G, E、F、G之间的等量关系:F=E+G﹣1; (3)该平面图的边数:2009+2009﹣1=4017(条). 40.答案:见试题解答内容 解答:方程组:,①×3+②可得, ∴解得x=1,y=﹣2,z=3方程组的解为. _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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  • ID:3-8096102 [精]【2021年高考数学二轮复习】专题八高等数学 第2讲矩阵与变换(一)专题复习(含解析)

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    中小学教育资源及组卷应用平台 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第2讲矩阵与变换(一)大全集练习题 一.选择题(共13小题) 1.已知数阵中,每行的三个数依次成等比数列,每列的三个数也依次成等比数列,若a22=2,则该数阵中九个数的积为(  ) A.36 B.256 C.512 D.1024 2.已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)三点,=(1,1,1),则以为方向向量的直线l与平面ABC的关系是(  ) A.垂直 B.不垂直 C.平行 D.以上都有可能 3.有矩阵A3×2,B2×3,C3×3,下列运算可行的是(  ) A.AC B.BAC C.ABC D.AB﹣AC 4.对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcosθ﹣ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.若平面内点A,B的坐标分别为,B(0,1),把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P,则点P的坐标为(  ) A. B.(0,﹣2) C. D. 5.变换=的几何意义为(  ) A.关于y轴反射变换 B.关于x轴反射变换 C.关于原点反射变换 D.以上都不对 6.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x2﹣y2=1,则曲线C的方程为(  ) A.4x2﹣16y2=1 B.16x2﹣4y2=1 C.﹣=1 D. 7.直线的平行投影可能是(  ) A.点 B.线段 C.射线 D.曲线 8.已知数组a=(1,3,﹣2),b=(2,1,0),则a﹣2b等于(  ) A.(﹣3,1,﹣2) B.(5,5,﹣2) C.(3,﹣1,2) D.(﹣5,﹣5,2) 9.若矩阵是线性方程组的系数矩阵,则(  ) A.a=1,b=﹣1 B.a=1,b=1 C.a=﹣1,b=1 D.a=﹣1,b=﹣1 10.若矩阵满足下列条件:①每行中的四个数所构成的集合均为{1,2,3,4};②四列中有且只有两列的上下两数是相同的.则这样的不同矩阵的个数为(  ) A.24 B.48 C.144 D.288 11.结果是(  ) A. B. C. D. 12.点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是(  ) A. B. C. D. 13.已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=,则矩阵A的特征值为(  ) A.﹣1 B.4 C.﹣1,4 D.﹣1,3 二.填空题(共12小题) 14.已知关于x,y的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为,小明同学为了求解此方程组,将矩阵A进行初等变换得到矩阵,则a+b=   . 15.直线l:x﹣y+1=0在矩阵M=对应的变换作用下得到直线l′的方程为   . 16.将反比例函数y=的图象绕坐标原点顺时针旋转45°,则旋转后所得双曲线的标准方程是   . 17.在同一直角坐标系下,曲线+=1经过伸缩变换后得到的曲线的普通方程为   . 18.已知矩阵的逆矩阵是,则a+b=   . 19.某线性方程组对应的增广矩阵是,且此方程组无解,则实数m=   . 20.关于未知数x,y的方程组对应的增广矩阵为,则此方程组的解x+y=   . 21.关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵为,则m+n=   . 22.计算:=   . 23.计算:=   . 24.计算矩阵的乘积:(ab)=   . 25.矩阵A=的逆矩阵A﹣1为   . 三.解答题(共15小题) 26.已知函数f(x)=,(x∈R) (1)求f(x)的最小正周期及判断函数f(x)的奇偶性; (2)在△ABC中,f(A)=0,||=m,m∈[2,4].若对任意实数t恒有|﹣t|≥||,求△ABC面积的最大值. 27.(选做题)二阶矩阵M对应的变换将点(1,﹣1)与(﹣2,1)分别变换成点(﹣1,﹣1)与(0,﹣2).设直线l在变换M作用下得到了直线m:2x﹣y=4,求直线l的方程. 28.在矩阵A的变换下,坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变. (1)求矩阵A及A﹣1; (2)求圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程. 29.将曲线C1:x2﹣y2=1绕原点逆时针旋转45°后得到曲线C2,求曲线C2的方程. 30.已知曲线y2=2x,先将曲线C作关于x轴的反射变换,再将所得图形绕原点顺时针旋转90°. (1)求连续两次变换所对应的变换矩阵M; (2)求曲线C在TM作用下得到的曲线C′的方程. 31.在直角坐标系xOy中,将圆O:x2+y2=1经过伸缩变换后得到曲线 C,直线l的(t为参数). (Ⅰ)求曲线C的方程,直线l的普通方程; (Ⅱ)若点P,A分别是曲线C、直线l上的任意点,求|PA|的最小值. 32.已知矩阵A=,B=,若矩阵AB对应的变换把直线l:x+y﹣2=0变为直线l',求直线l'的方程. 33.已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(0,2),B(1,1),C(1,3).若△ABC在一个切变变换T作用下变为△A1B1C1,其中B(1,1)在变换T作用下变为点B1(1,﹣1). (1)求切变变换T所对应的矩阵M; (2)将△A1B1C1绕原点按顺时针方向旋转45°后得到△A2B2C2.求B1变化后的对应点B2的坐标. 34.设矩阵M=(其中a>0,b>0). (Ⅰ)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M﹣1; (Ⅱ)若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′:+y2=1,求a,b的值. 35.已知矩阵M=,N=,且MN=. (1)求矩阵M; (2)直线l在矩阵M对应的变换作用下变为直线x+3y=0,求直线l的方程. 36.求椭圆C:+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得曲线C′的方程. 37.已知矩阵M=(a,b∈R)不存在逆矩阵,且非零特征值对应的一个特征向量=,求a,b的值. 38.已知矩阵A=,若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P(2,6),求实数k的值. 39.已知矩阵A=,A的一个特征值λ=2,其对应的一个特征向量是α1= (1)求矩阵A; (2)设直线l在矩阵A﹣1对应的变换作用下得到了直线m:x﹣y=4,求直线l的方程. 40.已知矩阵A=,其中m,n∈R,若点P(1,2)在矩阵A的变换下得到的点P1(0,5). (1)求实数m,n的值; (2)求矩阵A的逆矩阵A﹣1. 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第2讲矩阵与变换(一)大全集练习题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共13小题) 1.答案:C 解答:∵数阵中,每行的三个数依次成等比数列,a22=2, ∴a11?a12?a13=, a21?a22?a23==23=8, a31?a32?a33=, ∵每列的三个数也依次成等比数列, ∴=a226=26=64, ∴该数阵中九个数的积为: (a11?a12?a13)(a21?a22?a23)(a31?a32?a33)=8×64=512. 故选:C. 2.答案:A 解答:由题意, ∵ ∴以为方向向量的直线l与平面ABC垂直 故选:A. 3.答案:C 解答:由题意,AB=D3×3,ABC是DC=E3×3, 故选:C. 4.答案:C 解答:对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcosθ﹣ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P. 若平面内点A,B的坐标分别为,B(0,1),则=(﹣,1);即:x=﹣,y=1;① 把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P,即:把点B绕点A逆时针方向旋转 2π﹣ 后得到点P,即:θ=2π﹣;② 将①②代入:=(xcosθ﹣ysinθ,xsinθ+ycosθ),解得:=(0,2), 因为,有向量坐标为终点坐标减始点坐标,所以P(,2) 故选:C. 5.答案:B 解答:在坐标系xoy内, 经过变换后变为, 二者关于x轴对称, 所以变换=的几何意义为关于x轴的反射变换. 故选:B. 6.答案:B 解答:把变换公式,代入方程x′2﹣y′2=1中, 得(4x)2﹣(2y)2=1, 化简得曲线C的方程为16x2﹣4y2=1. 故选:B. 7.答案:A 解答:平行投影特征:直线的投影一般仍为直线, 当平行光与直线平行时投影为一点, 故选:A. 8.答案:A 解答:∵数组a=(1,3,﹣2),b=(2,1,0), ∴a﹣2b=(1,3,﹣2)﹣(4,2,0)=(﹣3,1,﹣2). 故选:A. 9.答案:A 解答:依题意,由线性方程组的系数矩阵的定义,可知 线性方程组的系数矩阵为, 即=, ∴a=1,b=﹣1. 故选:A. 10.答案:C 解答:按以下步骤进行排列 ①从集合{1,2,3,4}中选取2个数,总共有C42=6种方法; ②将选取的两个数插在第一列、第二列、第三列或第四列的2个位置, 因为上下对应的数字相同,所以总共有A42=12种方法; ③将剩余的两个数插在余下的2个位置,共2种方法 综上,可得满足条件的不同排列共有C42A42×2=144个 因此,满足条件的不同矩阵的个数为144个 故选:C. 11.答案:A 解答:==. 故选:A. 12.答案:D 解答:由于M1?M2=?=. 则点通过矩阵M1=和M2=的变换效果相当于另一变换是. 故选:D. 13.答案:C 解答:设A=,则由AA﹣1=E得?=, 即有解得,即A=, 则矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ﹣2)(λ﹣1)﹣6=λ2﹣3λ﹣4, 令f(λ)=0,则λ=﹣1或4. 故矩阵A的特征值为﹣1,4. 故选:C. 二.填空题(共12小题) 14.答案:2. 解答:由题意可知,方程组与方程组 有相同的解, 联立方程组,可得,则, 所以,所以a+b=2, 故答案为:2. 15.答案:见试题解答内容 解答:由题意,可设直线l上任意一点P(x,y)经过矩阵M对应的变换作用下得到一点P′(x′,y′), 则点P′(x′,y′)在直线l′上. ∵?=, 即:=. ∴. 即:. ∵点P(x,y)在直线l上, ∴可将代入x﹣y+1=0,得: , 整理,得:x′﹣y′+2=0. ∴直线l′的方程为x﹣y+2=0. 故答案为:x﹣y+2=0. 16.答案:见试题解答内容 解答:函数y=的图象关于y=x对称,且以x轴和y轴为渐近线. 同时求得函数y=与y=x的交点坐标为(1,1)和(﹣1,﹣1). 他们与原点的距离为. 同时可知直线y=x与x轴成45°的角, 反比例函数y=的图象绕坐标原点顺时针旋转45°后,得到的双曲线的焦点在x轴上, 且以y=x和y=﹣x为渐近线, 且顶点坐标为(,0)和(﹣,0) 所以a=b=,所以双曲线的方程为. 故答案为:. 17.答案:x′2+y′2=1 解答:伸缩变换转换为,代入曲线+=1得到x′2+y′2=1. 故答案为:x′2+y′2=1 18.答案:见试题解答内容 解答:根据矩阵的逆矩阵是,得 =, ∴, 解得 ∴a+b=8. 故答案为:8. 19.答案:见试题解答内容 解答:由题意,可知: ∵线性方程组无解, ∴对应的系数行列式=m2﹣4=0, ∴m=±2. 故答案为:±2. 20.答案:. 解答:∵关于未知数x,y的方程组对应的增广矩阵为, ∴,解得, ∴x+y=. 故答案为:. 21.答案:见试题解答内容 解答:∵关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过变换, 最后得到的矩阵为, ∴x=3,y=1, ∴,解得m=﹣1,n=3, ∴m+n=﹣1+3=2. 故答案为:2. 22.答案:见试题解答内容 解答:根据矩阵乘法的计算法则,可知 =. 故答案为:. 23.答案:见试题解答内容 解答::==. 故答案为:. 24.答案:见试题解答内容 解答:∵3a+b×0=3a,ac+b×0=ac, ∴(ab)=(3aac). 故答案为:(3aac). 25.答案:见试题解答内容 解答:由的逆矩阵为, 可得矩阵A=的逆矩阵A﹣1为. 故答案为:. 三.解答题(共15小题) 26.答案:见试题解答内容 解答:(1)∵函数f(x)= =2cos(x﹣)cos(x+)﹣2sin2x =2sinxcos(x+)﹣2sin2x =sinxcosx﹣3sin2x =sin2x+cos2x﹣ =sin(2x+)﹣. ∴f(x)=sin(2x+)﹣. ∴T==π, ∴f(﹣x)≠±f(x), ∴函数f(x)为非奇非偶函数; (2)∵f(A)=0, ∴f(A)=sin(2A+)﹣=0. ∴sin(2A+)=. ∵0<A<π, ∴<2A+<, ∴2A+=, ∴A=, ∵对任意实数t恒有|﹣t|≥||, 故点B到直线AC的最短距离为BC, ∴BC⊥AC. ∴c=90° ∵|AB|=,|AC|=m, ∴BC≤|﹣t|, ∴S△ABC=BC?AC≤. ∴△ABC面积的最大值. 27.答案:见试题解答内容 解答:设M=,则, , ∴,且, 解得a=1,b=2,c=3,d=4, ∴M=, ∵, 且m:2x′﹣y′=4, ∴2(x+2y)﹣(3x+4y)=4, 即x+4=0, ∴直线l的方程x+4=0. 28.答案:见试题解答内容 解答:(1)∵在矩阵A的变换下,坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变, ∴A=, ∵△=|A|=3,∴A﹣1=. (2)由=,得, ∴, 代入x2+y2=4,得9x'2+y'2=4, ∴圆x2+y2=4在矩阵A﹣1的变换下得到的曲线方程为9x2+y2=4. 29.答案:见试题解答内容 解答:由题意知,得旋转矩阵:=, 从曲线C1:x2﹣y2=1上任取一点P(x,y),它在变换作用下变为Q(x',y'), 则有, 故, 所以, 又因为点P在曲线C1:x2﹣y2=1上, 所以代入,化简得2x'y'=1, 即曲线C2的方程为2xy=1. 30.答案:见试题解答内容 解答:(1)由题意,可知: 反射变换对应的矩阵为, 旋转变换对应的矩阵为. (2)由题意,可设在曲线C上任取一点P(x,y),在TM作用下对应点为P′(x′,y′), 则有:=. 整理,得:=. 即:. ∴. ∵点P(x,y)在曲线C上, ∴可将代入y2=2x,得:(﹣x′)2=2?(﹣y′). 整理,得:. ∴曲线C′的方程为:. 31.答案:见试题解答内容 【解答】解.(Ⅰ)由, 得代入x2+y2=1, 得曲线C方程为:…(3分) 直线l的(t为参数), 转化为普通方程为:2x+y﹣6=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分) (Ⅱ)设曲线C上任意取一点P(2cosθ,3sinθ),(0≤θ<2π) 则P到直线l距离d的最小值就是|PA|的最小值: (其中), ∴当sin(θ+α)=1时, …(9分) ∴|PA|最小值为…(10分) 32.答案:见试题解答内容 解答:∵, ∴=…(3分), 在直线l上任取一点P(x′,y′),经矩阵AB变换为点Q(x,y),则, ∴, 即…(8分) 代入x′+y′﹣2=0中得, ∴直线l′的方程为4x+y﹣8=0…(10分) 33.答案:见试题解答内容 解答:(1)设,则有得 所以…(7分) (2)由 得B2(0,)…(15分) 34.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)∵矩阵M=, ∴detM=6≠0, ∴矩阵M是可逆的, ∴M﹣1=. (Ⅱ)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性交换作用下得到点P′(x′,y′), 则=,即, 又点P′(x′,y′)在曲线C′上,∴, 则为曲线C的方程, 又已知曲线C的方程为x2+y2=1,又a>0,b>0, ∴a=2,b=1. 35.答案:(1)M=. (2)直线l的方程为3x﹣y=0. 解答:(1)∵矩阵M=,N=,且MN=. ∴=, ∴,解得a=﹣3,b=﹣1, ∴M=. (2)设直线l上任一点(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为(x′,y′), 即==在x+3y=0上, 则﹣3x+2y+6x﹣3y=0,即3x﹣y=0, ∴直线l的方程为3x﹣y=0. 36.答案:见试题解答内容 解答:设P(x,y)是曲线C′上的任意一点,它是椭圆+=1上的点P1(x′,y′)在矩阵对应变换作用下的对应点, 则:═=, 即:, 所以代入椭圆+=1,得到x2+y2=1. 故曲线C′的方程为x2+y2=1. 37.答案:. 解答:因为 M 不存在逆矩阵,,所以 ab=﹣4. 矩阵 M 的特征多项式为 , 令f(λ)=0,则 λ=3 或 λ=0, 所以 ,即 , 所以 所以 . 38.答案:见试题解答内容 解答:∵矩阵A=,得A﹣1=,…(5分) ∵直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P(2,6), 所以A﹣1==, 将点(2,2)代入直线y=kx+1得k=…(10分) 39.答案:见试题解答内容 解答:(1)∵Aα1==,λα1=2=, ∴解得 故A=; (2)设直线m:x﹣y=4上的任意一点(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x′,y′), 则== ∴∴ ∵x﹣y=4,∴x'﹣y'=8, ∴直线l的方程为x'﹣y'=8. 40.答案:(1)m=2,n=1. (2)A﹣1=. 解答:(1)∵矩阵A=,其中m,n∈R, 点P(1,2)在矩阵A的变换下得到的点P1(0,5). ∴=,∴, 解得m=2,n=1. (2)由(1)得A=, 设A﹣1=,则AA﹣1==, ∴,解得, ∴矩阵A的逆矩阵A﹣1=. _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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  • ID:3-8096101 [精]【2021年高考数学二轮复习】专题八高等数学 第4讲不等式选讲(一)专题复习(含解析)

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    中小学教育资源及组卷应用平台 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第4讲不等式选讲(一)大全集练习题 一.选择题(共13小题) 1.某校高三(1)班共有45人,现采用问卷调查统计有手机与平板电脑的人数.从统计资料显示,此班有35人有手机,有24人有平板电脑.设a为同时拥有手机与平板电脑的人数;b为有手机但没有平板电脑的人数;c为没有手机但有平板电脑的人数;d为没有手机也没有平板电脑的人数.给出下列5个不等式: ①a>b ②a>c ③b>c ④b>d ⑤c>d 其中恒成立的不等式为(  ) A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①③⑤ 2.对任意实数x,若不等式|x+1|﹣|x﹣2|>k在R上恒成立,则k的取值范围是(  ) A.k<3 B.k<﹣3 C.k≤﹣3 D.k≤3 3.若a<b,则下列不等式一定成立的是(  ) A. B.a2>b2 C.sina<sinb D.2a<2b 4.不等式|3x﹣2|<4的解集是(  ) A.{x|x>2} B.{x|x<﹣} C.{x|x<﹣或x>2} D.{x|﹣<x<2} 5.若x∈(0,2π),则不等式|x+cosx|<|x|+|cosx|的解集为(  ) A.(0,π) B. C.(π,2π) D. 6.若a<0<b,则下列不等式恒成立的是(  ) A. B.﹣a>b C.a3<b3 D.a2>b2 7.已知a=20.5,,,则a,b,c的大小关系是(  ) A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.c>a>b 8.求证: 证明:要证 只需证 即证 即证 ∵35>11 ∴原不等式成立 以上证明应用的方法是(  ) A.间接证明 B.综合法 C.分析法 D.不是以上方法 9.利用反证法证明:“若x2+y2=0,则x=y=0”时,假设为(  ) A.x,y都不为0 B.x≠y且x,y都不为0 C.x≠y且x,y不都为0 D.x,y不都为0 10.已知:a2+b2=1,x2+y2=1,则ax+by的取值范围是(  ) A.[0,2] B.[﹣1,1] C.[﹣2,2] D.[0,1] 11.已知x,y,z∈R+且x+y+z=1则x2+y2+z2的最小值是(  ) A.1 B. C. D.2 12.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…an,共n个数据,我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=(  ) A. B. C. D. 13.已知a,b,c∈R+,则a2(a2﹣bc)+b2(b2﹣ac)+c2(c2﹣ab)的正负情况是(  ) A.大于零 B.大于等于零 C.小于零 D.小于等于零 二.填空题(共13小题) 14.已知实数a,b∈(,+∞),且满足,则a,b,的大小关系是   . 15.集合A={t|t∈Z,关于x的不等式x2≤2﹣|x﹣t|至少有一个负数解},则集合A中的元素之和等于   . 16.已知函数f(x)=ax2﹣b满足﹣4≤f(1)≤﹣1,﹣1≤f(2)≤5,则f(3)的取值范围是   . 17.若不等式|x﹣a|+|x+1|≥3x对任意x∈[﹣2,2]都成立,则实数a的取值范围是   . 18.关于x的不等式|x+2|+|x﹣3|≥k的解集为R,则实数k的取值范围是   . 19.已知a>0,b>0,m>0,不等式+m≤恒成立,则m的最大值为   . 20.+与2+的大小关系为   . 21.下列表述: ①综合法是执因导果法; ②综合法是顺推法; ③分析法是执果索因法; ④分析法是间接证法; ⑤反证法是逆推法. 正确的语句有是   (填序号). 22.已知a>b,二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立,又?x0∈R,使+4x0+b=0成立,则的最小值为   . 23.伟大的数学家高斯说过:几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发,借助以下两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)的一种“图形证明”. 证明思路: (1)图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积; (2)图1中阴影区域的面积为ac+bd,图2中,设∠BAD=θ,图2阴影区域的面积可表示为   (用含a,b,c,d,θ的式子表示); (3)由图中阴影面积相等,即可导出不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).当且仅当a,b,c,d满足条件   时,等号成立. 24.已知,且cos2α+cos2β+cos2γ=2,则的最小值为   . 25.设x,y,z∈R,若2x﹣3y+z=3,则x2+(y﹣1)2+z2之最小值为   ,又此时y=   . 26.已知实数x,y满足x2+y2=4,则4(x﹣)2+(y﹣1)2+4xy的取值范围是   . 三.解答题(共14小题) 27.将若干只鸡放入若干个笼,若每个笼里放4只,则有一鸡无笼可放:若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放.设现有笼x个(每个面积相等), 试列出x满足的不等关系,并说明至少有多少只鸡多少个笼?至多有多少只鸡多少个笼? 28.已知函数f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m(m∈R). (1)解关于x的不等式f(x)+a﹣2>0(a∈R); (2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,求m的取值范围. 29.若0<a<b,则下列不等式哪些是成立的?若成立,给予证明;若不成立,举出反例. ①;②;③;④. 30.已知函数f(x)=2|x+1|+|x﹣2|,f(x)的最小值为M. (1)求M; (2)若a>0,b>0,且a+b=M,求的最小值. 31.已知集合A={x||2x﹣1|>3}. (Ⅰ)若存在x∈A使不等式|2x+m|≤2成立,求m的取值范围; (Ⅱ)取m为(Ⅰ)所求范围中的最小正整数,解不等式|3x﹣1|﹣|x+m|<2. 32.已知不等式|x﹣1|+|x﹣2|<3的解集为M. (1)求M; (2)若a,b,c∈M,且a+b+c=3,求证:≥≥3. 33.已知ad≠bc,求证:(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2. 34.已知1++……+<C(n+1),证明:当C=,不等式成立,且C<该不等式不成立. 35.已知函数f(x)=及正实数a,b. (Ⅰ)用分析法证明:f(a)+f(); (Ⅱ)若a+1>1,用反证法证明:af(b),bf(a)中至少有一个大于. 36.已知函数f(x)=|x﹣1|+2|x﹣2|(x∈R)记f(x)得最小值为m. (1)解不等式f(x)≤5; (2)若a+2b=m,求a2+b2的最小值. 37.已知x,y,z均是正实数,且x2+4y2+z2=16,求证:x+y+z≤6. 38.已知正数a,b,c满足a2+b2+c2=6. (Ⅰ)求a+2b+c的最大值M; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立,求实数m的取值范围. 39.已知n∈N*,n>1,n个实数a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=0,|a1|+|a2|+…+|an|=1.求证:|a1+2a2+3a3+…+nan|≤. 40.已知函数f(x)=|x+1|+a|2x﹣1|. (Ⅰ)当时,若对任意x∈R恒成立,求m+n的最小值; (Ⅱ)若f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2],求实数a的取值范围. 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第4讲不等式选讲(一)大全集练习题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共13小题) 1.答案:B 解答:由题意可得:35+24﹣a+d=45, ∴a﹣d=14,b=35﹣a=21﹣d,c=24﹣a=10﹣d, 可得:a>d,b>c,14≤a≤24,c+d=10. 对d分类讨论: (1)d=0时,解得a=14,b=35﹣14=21,c=24﹣14=10,此时②③④⑤恒成立. (2)d=1时,解得a=15,b=20,c=9,此时②③④⑤恒成立. (3)同理可得:d=2,3,4,5,6,7,8,9,10时,此时②③④恒成立. 其中恒成立的不等式为②③④. 故选:B. 2.答案:B 解答:令g(x)=|x+1|﹣|x﹣2|,则g(x)=, ∴g(x)min=﹣3. ∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|>k在R上恒成立?k<g(x)min恒成立, ∴k<﹣3. 故选:B. 3.答案:D 解答:对于A,若a<0<b,则<,故A错误; 对于B,若0<a<b,则a2<b2,故B错误; 对于C,取a=,b,此时sina=sinb,故C错误; 对于D,函数y=2x为增函数,若a<b,2a<2b,故D正确. 故选:D. 4.答案:D 解答:不等式|3x﹣2|<4化为不等式|x﹣|<,表示数轴上的点到点的距离小于的点的集合, 即{x|﹣<x<2},不等式的解集为:{x|﹣<x<2}, 故选:D. 5.答案:B 解答:当0<x≤,或≤x<2π,cosx≥0,则|x+cosx|<|x|+|cosx|,即为x+cosx<x+cosx,此时无解, 当<x<时,cosx<0时,则|x+cosx|<|x|+|cosx|一定成立, 故选:B. 6.答案:C 解答:根据题意,依次分析选项: 对于A,由于a<0<b,则<0<,A错误; 对于B,若|a|<|b|,则﹣a<b,B错误; 对于C,由于a<0<b,则a3<0<b3,C正确; 对于D,若|a|<|b|,则a2<b2,D错误; 故选:C. 7.答案:B 解答:由于,可得 又a=20.5>1 ∴a>b>c 故选:B. 8.答案:C 解答:从所要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,从而得出要证的命题成立,这种证明方法称为分析法,即“执果索因”的证明方法. 故本题的证明方法为分析法. 故选:C. 9.答案:D 解答:根据用反证法证明数学命题的方法,应先假设要证命题的否定成立, 而要证命题的否定为“x,y不都为0”, 故选:D. 10.答案:B 解答:由柯西不等式有,1=(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,当且仅当“ay﹣bx=0”时取等号, ∴﹣1≤ax+by≤1. 故选:B. 11.答案:B 解答:∵(x2+y2+z2)×(1+1+1 )≥(x+y+z)2=1, ∴x2+y2+z2≥1×=, 当且仅当x=y=z时取等号, 故 x2+y2+z2的最小值为, 故选:B. 12.答案:B 解答:∵所测量的“最佳近似值”a是与其他近似值比较, a与各数据的差的平方和最小. 根据均值不等式求平方和的最小值知这些数的底数要尽可能的接近, ∴a是所有数字的平均数, ∴a=, 故选:B. 13.答案:B 解答:设a≥b≥c>0,所以a3≥b3≥c3, 根据排序不等式,a3﹣a+b3﹣b+c3﹣c≥a3b+b3c+c3a, 且ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2, 所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab; 所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab, 即a2(a2﹣bc)+b2(b2﹣ac)+c2(c2﹣ab)≥0. 故选:B. 二.填空题(共13小题) 14.答案:a>>b 解答:变形可得+lna﹣(+lnb)>0, 令f(x)=,x∈(,+∞), 则f′(x)=,当x∈(,+∞)时,f′(x)=>0, 所以f(x)单调递增,由f(a)﹣f(b)=+lna﹣(+lnb)>0, 可得a>b, 所以a﹣=(﹣)>0, ﹣b=(﹣)>0, ∴a>>b. 故答案为:a>>b. 15.答案:见试题解答内容 解答:原不等式x2≤2﹣|x﹣t|化成: |x﹣t|≤2﹣x2且 0<2﹣x2 在同一坐标系画出y=2﹣x2(x<0,y<0)和 y=|x|两个图象 将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过 (0,2)点,a=2 将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 (﹣,)点,a=﹣ 故实数t的取值范围是(﹣,2)又t∈Z, ∴t=﹣2,﹣1,0,1.A={﹣2,﹣1,0,1} 则集合A中的元素之和等于﹣2 故答案为:﹣2. 16.答案:[﹣1,20]. 解答:∵f(x)=ax2﹣b,∴f(1)=a﹣b,f(2)=4a﹣b,f(3)=9a﹣b, 设f(3)=mf(1)+nf(2),则m(a﹣b)+n(4a﹣b)=9a﹣b, ∴m+4n=9且﹣m﹣n=﹣b,∴m=﹣,n=, ∴f(3)=﹣f(1)+f(2), ∵﹣4≤f(1)≤﹣1,﹣1≤f(2)≤5, ∴f(3)∈[﹣1,20]. 故答案为:[﹣1,20]. 17.答案:见试题解答内容 解答:当x∈[﹣2,0]时,3x≤0,所以对任意的a,显然成立, 当x∈[0,2]时,由|x﹣a|+|x+1|≥3x可得,|x﹣a|≥3x﹣x﹣1=2x﹣1, 当x∈[0,]时,显然成立, 当x∈[,2]时,2x﹣1≥0,所以(x﹣a)2≥(2x﹣1)2, 化简得3x2+x(2a﹣4)+1﹣a2≤0,在x∈[,2]上恒成立, 所以, 所以a≤﹣1,或 a≥5, 故答案为:{a|a≤﹣1 或 a≥5}. 18.答案:(﹣∞,5] 解答:|x+2|+|x﹣3=|x+2|+|3﹣x|≥|(x+2)+(3﹣x)|=5, ∵关于x的不等式|x+2|+|x﹣3|≥k的解集为R, ∴k≤5. 故答案为:(﹣∞,5]. 19.答案:见试题解答内容 解答:=, 因为,所以 ①,即时,只需,解得,所以; ②,即时,,解得, 综上,实数m的最大值为. 故答案为:. 20.答案:见试题解答内容 解答:∵﹣ =13+2﹣(13+4) =>0, ∴+>2+, 故答案为:>. 21.答案:见试题解答内容 解答:根据综合法的定义可得,综合法是执因导果法,是顺推法,故①②正确. 根据分析法的定义可得,分析法是执果索因法,是直接证法,故③正确,④不正确. 由反证法的定义可得,反证法是假设命题的否定成立,由此推出矛盾,从而得到假设不成立,即命题成立,故不是逆推法,故⑤不正确. 故答案为:①②③. 22.答案:见试题解答内容 解答:∵已知a>b,二次三项式ax2+4x+b≥0对于一切实数x恒成立, ∴a>0,且△=16﹣4ab≤0,∴ab≥4. 再由?x0∈R,+4x0+b=0,可得△=0, ∴16﹣4ab=0, 即ab=4, ∴a>2, ∵===(a﹣)+ ≥2=2=4,当且仅当a=+时取等号 故的最小值为4, 故答案为:4. 23.答案:见试题解答内容 解答:(1)图1中阴影部分的面积S1=bd+ac;图2中的面积为S2=(a+d)(b+c)﹣dc﹣ab=ac+bd,∴两图中的阴影部分面积相等; (2)图2阴影区域的面积S=AD?ABsin∠DAB=. (3)∵sinθ≤1,(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).当且仅当时,取等号. 答案为:, 24.答案:见试题解答内容 解答:由题意,知sin2α+sin2β+sin2γ=1, 由基本不等式可知, 同理, , 上述式子相加可得, 当且仅当时取等号, 所以的最小值为. 故答案为:. 25.答案:见试题解答内容 解答:z=3﹣2x+3y, x2+(y﹣1)2+z2=x2+(y﹣1)2+(3﹣2x+3y)2=5x2﹣12x(y+1)+9(y+1)2+(y﹣1)2 =5[x﹣1.2(y+1)]2+1.8(y+1)2+(y﹣1)2 =5[x﹣1.2(y+1)]2+2.8y2+1.6y+2.8 =5[x﹣1.2(y+1)]2+2.8[y2+y+()2]+2.8﹣ =5[x﹣1.2(y+1)]2+2.8(y+)2+≥. 当且仅当x=,y=﹣时,取得最小值,且为. 故答案为:,﹣. 26.答案:见试题解答内容 解答:4(x﹣)2+(y﹣1)2+4xy=4x2﹣4x+1+y2﹣2y+1+4xy=(2x+y﹣1)2+1. 设x=2cosα,y=2sinα,∴2x+y﹣1=4cosα+2sinα﹣1=2sin(α+θ)﹣1∈[﹣2﹣1,2﹣1], ∴(2x+y﹣1)2∈[0,21+4], ∴(2x+y﹣1)2+1∈[1,22+4], 故答案为:[1,22+4]. 三.解答题(共14小题) 27.答案:见试题解答内容 解答:根据题意得:5(x﹣2)+1≤4x+1≤5(x﹣1), 解得6≤x≤10 故至少6个笼,25只鸡;至多10个笼,41只鸡. 28.答案:见试题解答内容 解答:(1)由f(x)+a﹣2>0,得|x﹣2|>2﹣a. 当2﹣a<0,即a>2时,不等式的解集为R; 当2﹣a≥0,即a≤2时,得x﹣2>2﹣a或x﹣2<﹣(2﹣a),即x>4﹣a或x<a, 故原不等式的解集为(﹣∞,a)∪(4﹣a,+∞); 综上,当a>2时,原不等式的解集为R; 当a≤2时,原不等式的解集为(﹣∞,a)∪(4﹣a,+∞). (2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方, 即|x﹣2|>﹣|x+3|+m(m∈R)对任意实数x恒成立; 即|x﹣2|+|x+3|>m(m∈R)对任意实数x恒成立; ∵|x﹣2|+|x+3|≥|(x+3)﹣(x+3)|=5, 当(x+3)﹣(x+3)≤0时取等号; ∴m<5. 故m<5时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方. 29.答案:见试题解答内容 解答:0<a<b, ①,正确; ②,正确; ③,正确; ④∵+b>2a,+a>2b,∴,因此正确. 30.答案:见试题解答内容 解答:(1)∵函数f(x)=2|x+1|+|x﹣2|=, ∴f(x)min=f(﹣1)=3. (2)由(1)知a+b=3, 故= =, 又a>0,b>0, ∴,, ∴,当且仅当时“=”成立, ∴, ∴的最小值为. 31.答案:(Ⅰ)(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞), 解答:(Ⅰ)设B={x||2x+m|≤2}=[,], ∵A={x||2x﹣1|>3}=(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞), 要使存在x∈A使不等式|2x+m|≤2成立,等价于A∩B≠?, 当,解得﹣2≤m≤0时,A∩B=?, ∴所求m的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞), (Ⅱ)由题意可知m=1, 当x<﹣1时,原不等式可化为1﹣3x+x+1<2,此时无解, 当﹣1≤x≤时,原不等式可化为1﹣3x﹣x﹣1<2,解得﹣<x, 当x>时,原不等式可化3x﹣1﹣x﹣1<2,解得<x<2, 综上所述,不等式的解集为(﹣,2). 32.答案:(1)(0,3),(2)证明详见解答. 解答:(1)|x﹣1|+|x﹣2|=, 原不等式等价于或或, 解得0<x<1,或1≤x≤2或2<x<3, 故不等式的解集M=(0,3). 证明:(2)a,b,c∈(0,3),且a+b+c=3, ∴(a+b+c)≥,故0<abc≤1,当且仅当a=b=c=1时取等号 ∴++≥≥3, ∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,c2+b2≥2cb, ∴a2+b2+c2≥ac+ab+bc,当且仅当a=b=c=1时取等号, ∴≥, ∴++≥++,当且仅当a=b=c=1时取等号 综上所述≥≥3. 33.答案:见试题解答内容 解答:因为(a2+b2)(c2+d2)﹣(ac+bd)2 =(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)﹣(a2c2+b2d2+2abcd) =b2c2+a2d2﹣2abcd =(bc﹣ad)2≥0 又ad≠bc 所以(bc﹣ad)2>0 所以(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2. 34.答案:证明见解析. 解答:先证明当C=,不等式成立. 要证, 只需证, 只需证, 根据积分的定义易得 , 令 ,其在 (0,+∞) 上为增函数, 则原函数 , 依据积分法,有 f(n)<F(n+1)﹣F(n), 所以, 命题得证. 再证当C<时,该不等式不成立. 因为, 又, 所以当 时,不满足题意. 35.答案:(1)证明见解答(2)证明见解答 解答:证明:(Ⅰ)要证明f(a)+f(); 只需证明, 即, 只需证明, 只需证明3a2+3a+3≥2a2+5a+2,即a2﹣2a+1≥0,即(a﹣1)2≥0, 故f(a)+f()成立. (Ⅱ)假设af(b),bf(a)都小于等于,即,, 所以4a≤2b+1,4b≤2a+1,两式相加得: 4(a+b)≤2(a+b)+2,即a+b≤1, 与a+1>1,矛盾, 故:af(b),bf(a)中至少有一个大于. 36.答案:见试题解答内容 解答:(1)f(x)=|x﹣1|+2|x﹣2|=, ∵f(x)≤5,∴或或, ∴,∴不等式的解集为. (2)由(1)可知f(x)=|x﹣1|+2|x﹣2|≥1, 当且仅当x=2时等号成立,∴m=1,即a+2b=1, 由柯西不等式得(a+2b)2≤(1+22)(a2+b2), ∴,当且仅当,即时取等号. 37.答案:见试题解答内容 解答:证明:由柯西不等式得,……………5分 因为x2+4y2+z2=16,所以, 所以,x+y+z≤6,当且仅当“x=4y=z”时取等号.…………………………10分 38.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)因为已知a、b、c是实数,且a2+b2+c2=6, 根据柯西不等式有(a2+b2+c2)(12+22+12)≥(a+2b+c)2 故(a+2b+c)2≤36,即a+2b+c≤6 即a+2b+c的最大值为6, 当且仅当,即当a=c=1,b=2时取得最大值.…(4分) (Ⅱ)因为|x+1|+|x+m|≥|x+1﹣(x+m)|=|m﹣1|, 由题意及(Ⅰ)得,|m﹣1|≥6,得m≥7或m≤﹣5. 综上,实数m的取值范围为m≥7或m≤﹣5.…(7分) 39.答案:见试题解答内容 解答:证明:由于a1+a2+…+an=0,不妨设ai1≤ai2≤…≤ais≤0≤aj1≤aj2≤…≤ajt, 即an中有s个非正项,有t个非负项,则有, a1+a2+…+an=(ai1+ai2+…+ais)+(aj1+aj2+…+ajt)=0, |a1|+|a2|+…+|an|=﹣(ai1+ai2+…+ais)+(aj1+aj2+…+ajt)=1, 解得,ai1+ai2+…+ais=﹣,aj1+aj2+…+ajt=, 不妨设,1?a1+2?a2+…+n?an≥0(若为负,可将每项取相反数,后面证法一致) 根据排序不等式: 1?a1+2?a2+…+n?an≤(1?ai1+2?ai2+…s?ais)+[(s+1)?aj1+(s+2)?aj2+…+n?ajt] ≤1?(ai1+ai2+…+ais)+n?(aj1+aj2+…+ajt)=﹣+=, 因此,|1?a1+2?a2+…+n?an|≤,证毕. 40.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)当时,, ∴,∴.∴, ∴,当且仅当m=n时等号成立, ∵m,n>0,解得,当且仅当m=n时等号成立, 故m+n的最小值为. (Ⅱ)∵f(x)≥|x﹣2|的解集包含[﹣1,2], 当x∈[﹣1,2]时,有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x, ∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1,2]恒成立, 当时,a(1﹣2x)≥1﹣2x,∴a≥1; 当时,a(2x﹣1)≥1﹣2x,∴a≥﹣1. 综上:a≥1. 故实数a的取值范围是[1,+∞). _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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  • ID:3-8096098 [精]【2021年高考数学二轮复习】专题八高等数学第3讲坐标系与参数方程(一)专题复习(含解析)

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    中小学教育资源及组卷应用平台 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第3讲坐标系与参数方程(一)大全集练习题 一.选择题(共14小题) 1.下列有关坐标系的说法,错误的是(  ) A.在直角坐标系中,通过伸缩变换圆可以变成椭圆 B.在直角坐标系中,平移变换不会改变图形的形状和大小 C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程 D.同一条曲线可以有不同的参数方程 2.如图所示的曲线方程是(  ) A.|x|﹣y=0 B.x﹣|y|=0 C. D. 3.将点的直角坐标(﹣2,2)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是(  ) A.(4,) B.(4,) C.(4,) D.(4,) 4.ρ=4sinθ的直角坐标方程(  ) A.x2+(y﹣2)2=4 B.x2+y2=4 C.(x+2)2+y2=4 D.x2+(y+2)2=4 5.将点A(1,3)按照伸缩变换后得到的点A'的坐标为(  ) A. B. C.(2,1) D.(2,9) 6.在极坐标系中,已知两点,,则A,B中点的极坐标为(  ) A. B. C. D. 7.圆C的极坐标方程为:ρ=2sinθ,则其圆心C的直角坐标是(  ) A.(﹣1,0) B.(1,0) C.(0,﹣1) D.(0,1) 8.在极坐标系中,极坐标(,)化为直角坐标为(  ) A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1) 9.定义:平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系;在平面斜坐标系xOy中,若=xe1+ye2(其中e1、e2分别是斜坐标系x轴、y轴正方向上的单位向量,x,y∈R,O为坐标系原点),则有序数对(x,y)称为点P的斜坐标.在平面斜坐标系xOy中,若∠xOy=120°,点A的斜坐标为(5,3),直线l过点A且其向上方向与x轴正方向之间所成的角为60°,则直线l在斜坐标系xOy中的方程是(  ) A.x﹣y+2=0 B.x﹣y﹣2=0 C.x﹣y+3﹣5=0 D.x﹣y+3﹣5=0 10.设点M的柱坐标为,则M的直角坐标是(  ) A. B. C. D. 11.把点P(4,,4)的柱坐标化为直角坐标为(  ) A.(2,2,4) B.(2,2,4) C.(,1,4) D.(1,,4) 12.设点N的球坐标是,则它的直角坐标是(  ) A. B. C. D. 13.点M的直角坐标为(,1,﹣2),则它的球坐标为(  ) A.(2,,) B.(2,,) C.(2,,) D.(2,,) 14.曲线的参数方程是(t是参数,t≠0),它的普通方程是(  ) A.(x﹣1)2(y﹣1)=1(y<1) B.y=(x≠1) C.y=﹣1(y<1) D.y=﹣1(y<1) 二.填空题(共14小题) 15.如图,当∠xOy=α,且α∈(0,)∪(,π)时,定义平面坐标系xOy为α﹣仿射坐标系.在α﹣仿射坐标系中,任意一点P的斜坐标这样定义:、分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量,若=x+y,则记为=(x,y).现给出以下说法: ①在α﹣仿射坐标系中,已知=(1,2),=(3,t),若∥,则t=6; ②在α﹣仿射坐标系中,若=(,),若=(,﹣),则?=0; ③在60°﹣仿射坐标系中,若P(2,﹣1),则||=; 其中说法正确的有   .(填出所有说法正确的序号) 16.点P(﹣2,3)关于y轴对称的点的坐标为    17.在极坐标系中,极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离为   . 18.已知点A是曲线ρ=2cosθ上任意一点,则点A到直线的距离的最大值是   . 19.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C的方程为   . 20.原点与极点重合,x轴正半轴与极轴重合,则点(﹣2,﹣2)的极坐标是   . 21.(坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知两点A、B的极坐标分别为(2,),(4,).则△ABO(其中O为极点)的面积为   . 22.把圆的普通方程x2+(y﹣2)2=4化为极坐标方程为   . 23.在平面斜坐标系xOy中,x轴方向水平向右,y轴指向左上方,且∠xOy=.平面上任一点P关于斜坐标是这样定义的:若=x+y(其中向量,分别为x轴、y轴同方向的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y). (1)若P点斜坐标为(2,2),则P点到O点的距离为   ; (2)以O为顶点,直角坐标F(1,0)为焦点,x轴为对称轴的抛物线在斜坐标系xOy中的方程为   . 24.点Q的直角坐标是,则它的柱坐标是   . 25.设点M的柱坐标为(,,),则其直角坐标是   . 26.已知点M的球坐标为(4,,),则它的直角坐标为   . 27.已知点Q的球坐标为(2,,),则它的直角坐标为   . 28.曲线的参数方程是,它的普通方程是   . 三.解答题(共12小题) 29.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)已知点P(﹣2,6),直线l与曲线C交于A,B两点,求的值. 30.在极坐标系中,已知曲线C:ρ=2cosθ,将曲线C上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C1,又已知直线l:(t是参数),且直线l与曲线C1交于A,B两点. (1)求曲线C1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线; (2)设定点P(0,),求+. 31.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)已知过点M(﹣1,0)且倾斜角为的直线l与曲线C交于A,B两点,求的值. 32.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣4ρsinθ+12=0. (Ⅰ)求圆C的圆心的直角坐标和半径; (Ⅱ)已知直线l交圆C于A,B两点,点P(,2),求|PA|?|PB|. 33.在同一平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2=4经过伸缩变换φ:后,得到曲线C. (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)设曲线C与x轴和y轴的正半轴分别相交于A,B两点,P是曲线C位于第二象限上的一点,且直线PA与y轴相交于点M,直线PB与x轴相交于点N.求△ABM与△BMN的面积之和. 34.在极坐标系中,已知两点,.以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy,直线l的参数方程为(t为参数). (1)求A,B两点间的距离; (2)求点A到直线l的距离. 35.以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点,x轴的正半轴为极轴.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ+8sinθ,P是C1上一动点,,Q的轨迹为C2. (Ⅰ)求曲线C2的极坐标方程,并化为直角坐标方程; (Ⅱ)若点M(0,1),直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C2的交点为A,B,当|MA|+|MB|取最小值时,求直线l的普通方程. 36.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为:,曲线C2的参数方程为:(α为参数,t>0),点N的极坐标为. (1)若M是曲线C1上的动点,求M到定点N的距离的最小值; (2)若曲线C1与曲线C2有两个不同交点,求正数t的取值范围. 37.已知点M的柱坐标为(,,3),点N的球坐标为(2,,),求线段MN的长度. 38.如图,正方体OABC﹣D′A′B′C′中,|OA|=3,A′C′与B′D′相交于点P,分别写出点C、B′、P的柱坐标. 39.设点M的直角坐标为(1,1,),求它的球坐标. 40.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第3讲坐标系与参数方程(一)大全集练习题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共14小题) 1.答案:C 解答:直角坐标系是最基本的坐标系, 在直角坐标系中,伸缩变形可以改变图形的形状, 但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到, 例如圆可以变成椭圆;而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置; 对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方程的, 同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程. 故选:C. 2.答案:B 解答:由图象知:一个x对应两个y值且y可以为0, 故选:B. 3.答案:A 解答:∵点P的直角坐标(﹣2,2), ∴=,. 又点P在第二象限,θ∈[0,2π),∴. ∴满足条件的点P的极坐标为. 故选:A. 4.答案:A 解答:根据把ρ=4sinθ整理得ρ2=4ρsinθ,转换为直角坐标方程为x2+y2=4y,转换为标准式为x2+(y﹣2)2=4. 故选:A. 5.答案:C 解答:点A(1,3)按照伸缩变换,整理得,所以A′(2,1). 故选:C. 6.答案:C 解答:∵在极坐标系中,两点,, ∴在平面直角坐标系中,A(3,3),B(﹣3,3), ∴A,B中点的直角坐标为(,), ∴=3, tanα==2+,∴α=, 则A,B中点的极坐标为(,). 故选:C. 7.答案:D 解答:∵圆C的极坐标方程为:ρ=2sinθ, ∴ρ2=2ρsinθ, 即x2+y2=2y, 即x2+(y﹣1)2=1, 其圆心坐标为(0,1), 故选:D. 8.答案:C 解答:,. 由x=ρcosθ,y=ρsinθ, 得x=, y=. 即极坐标(,)化为直角坐标为(﹣1,﹣1). 故选:C. 9.答案:B 解答:建立如图所示的斜坐标系, ∵∠xOy=120°直线l过点A且其向上方向与x轴正方向之间所成的角为∠ABD=60°, ∴三角形ABD为等边三角形, ∵点A的斜坐标为(5,3), ∴AD=OC=3,0D=5 ∴BD=AD=3, ∴0B=OD﹣BD=5﹣3=2, ∴点B的坐标为(2,0), 根据直线的两点式方程得,,即x﹣y﹣2=0. 故选:B. 10.答案:B 解答:点M的柱坐标为,设M的直角坐标为(x,y,z), ∴,∴, ∴M的坐标为:. 故选:B. 11.答案:A 解答:由题意,得 , ∴, , ∴点 P 对应的直角坐标为 . 故选:A. 12.答案:A 解答:点N的球坐标是, 则x=4?sin?cos=2, y=4?sin?sin=﹣2, z=4?cos=0, 所以N的直角坐标为(2,﹣2,0). 故选:A. 13.答案:A 解答:设M的球坐标为M(r,φ,θ), 则r==2, 2cosφ=﹣2,∴φ=, 2sinφsinθ=1,∴θ=, ∴M的球坐标为(2,,). 故选:A. 14.答案:B 解答:∵曲线的参数方程是(t是参数,t≠0), ∴消去参数,得曲线的普通方程为: y=1﹣()2=(x≠1). 故选:B. 二.填空题(共14小题) 15.答案:见试题解答内容 解答:①在α﹣仿射坐标系中,已知=(1,2),=(3,t),若∥,则1×t=2×3,∴t=6,正确; ②在α﹣仿射坐标系中,若=(,),若=(,﹣),则?=(+)?(﹣)=﹣﹣≠0,故不正确; ③在60°﹣仿射坐标系中,若P(2,﹣1),则||==,正确; 故答案为:①③. 16.答案:见试题解答内容 解答:点P(﹣2,3)关于y轴对称点的坐标为(2,3). 故答案为:(2,3) 17.答案:见试题解答内容 解答:直线ρcosθ+ρsinθ=2的直角坐标方程: x+y﹣2=0, ∴极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离等于: . 故答案为: 18.答案:. 解答:由曲线ρ=2cosθ得ρ2=2ρcosθ,化为普通方程为x2+y2﹣2x=0,即(x﹣1)2+y2=1,其表示以点(1,0)为圆心,r=1为半径的圆, 由直线得,化为普通方程为, 圆心(1,0)到直线的距离, ∴直线与圆相离,则距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径,即. 故答案为:. 19.答案: 解答:由伸缩变换公式可得:,∴. 故答案为:. 20.答案:见试题解答内容 解答:∵点(﹣2,﹣2), ∴ρ==4, tanθ==,且θ在第三象限, ∴θ=. ∴点(﹣2,﹣2)的极坐标是(4,). 故答案为:(4,). 21.答案:见试题解答内容 解答:由题意可得|OA|=2,|OB|=4,∠AOB=﹣=, 则△ABO(其中O为极点)的面积为 |OA|?|OB|?sin∠AOB=×sin=2, 故答案为 2. 22.答案:ρ=4sin θ. 解答:圆的方程x2+(y﹣2)2=4化为一般方程为x2+y2﹣4y=0, 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得 ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣4ρsin θ=0, 即ρ=4sin θ. 故答案为:ρ=4sin θ. 23.答案:见试题解答内容 解答:(1),==﹣. ∵P点斜坐标为(2,2),∴, ∴==8﹣8×=4,∴. (2)如图所示, 抛物线在直角坐标系xoy′中的方程为:(y′)2=4x′. 设点P在斜坐标系xoy与直角坐标系xoy′中的坐标分别为P(x′,y′), P(x,y). 则,代入方程:(y′)2=4x′. 化为, 化为:=3x. 故答案分别为:2,=3x. 24.答案:见试题解答内容 解答:设Q的柱坐标为(ρ,θ,h), 则ρ==2,h=2, ,解得, 又又0≤θ<2π, ∴θ=. 故答案为(2,,2). 25.答案:见试题解答内容 解答:由题意:∵M点的柱面坐标为M(,,),设点M的直角坐标为(x,y,z), ∴x=,y=sin,z= 解得x=﹣1,y=﹣1,z=. ∴M点的直角坐标为:M. 故答案为. 26.答案:见试题解答内容 解答:4?sin?cos=﹣2, 4?sin?sin=2, 4?cos=2, ∴M的直角坐标为(﹣2,2,2), 故答案为:(﹣2,2,2). 27.答案:见试题解答内容 解答:设点M的直角坐标为(x,y,z), ∵点Q的球坐标为(2,,), ∴x=2sincos=﹣1,y=2sinsin=1,z=2cos=﹣ ∴Q的直角坐标为. 故答案为. 28.答案:见试题解答内容 解答:根据题意,曲线的参数方程是, 则有y2﹣x2=(t+)2﹣(t﹣)2=(t2++2)﹣(t2+﹣2)=4, 则其普通方程为:y2﹣x2=4. 故答案为:y2﹣x2=4. 三.解答题(共12小题) 29.答案:见试题解答内容 解答:(1)(α为参数),得C的直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣3)2=6, 由,, 得直线的方程为x+y﹣4=0, (2)点P(﹣2,6),直线的参数方程为, 代入(x﹣2)2+(y﹣3)2=6,得t2+, 则,显然t1,t2<0 则= 30.答案:见试题解答内容 解答:(1)曲线C的直角坐标方程为:x2+y2﹣2x=0即(x﹣1)2+y2=1. ∴曲线C1的直角坐标方程为=1, ∴曲线C表示焦点坐标为(﹣,0),(,0),长轴长为4的椭圆 (2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程=1中,得. 设A、B两点对应的参数分别为t1,t2, ∴t1+t2=﹣,t1t2=, ∴+=|=. 31.答案:见试题解答内容 解答:(1)由ρ=2sinθ可得:ρ2=2ρsinθ.由互化公式可得:x2+y2=2y,即x2+y2﹣2y=0. (2)过点M(﹣1,0)且倾斜角为的直线l的参数方程为:即. 代入方程x2+y2﹣2y=0.化为:t+1=0, t1+t2=2,t1t2=1. 根据t的几何意义可得:=+===2. 32.答案:(Ⅰ)以(3,2)为圆心,1为半径的圆(Ⅱ) 解答:(Ⅰ)圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣4ρsinθ+12=0,根据转换为直角坐标方程为x2+y2﹣6x﹣4y+12=0, 整理得:(x﹣3)2+(y﹣2)2=1. 所以该曲线是以(3,2)为圆心,1为半径的圆. (Ⅱ)点P()在直线上,所以t=,所以x=2+,y=2, 所以直线的参数方程为(m为参数),代入圆的方程整理得, 所以, 所以|PA|?|PB|=. 33.答案:(Ⅰ); (Ⅱ)2. 解答:(Ⅰ)圆x2+y2=4经过伸缩变换φ:, 即, 可得x′2+4y′2=4, 即曲线C的方程为. (Ⅱ)设点 P 坐标为 (m,n),(m<0,n<0), 故可得 m2+4n2=4, 由(Ⅰ)中所求方程可得:A(2,0),B(0,1), 故直线 PB 方程为:,令 y=0, 解得 故点 N 坐标为 , 同理直线 PA 方程为:,令 x=0, 解得 , 故 M 点坐标为 , 则△ABM与△BMN的面积之和 == ===2. 故△ABM与△BMN的面积之和为2. 34.答案:(1)2. (2). 解答:(1)∵在极坐标系中,两点,. ∴在直角坐标系中,A(2,2),B(0,2), ∴A,B两点间的距离为|AB|==2. (2)∵直线l的参数方程为(t为参数). ∴直线l的直角坐标方程为y=+2,即+4=0, ∴点A(2,2)到直线l的距离: d==. 35.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)根据题意,设点P,Q的极坐标分别为(ρ0,θ)、(ρ,θ), 则有ρ=ρ0=2cosθ+4sinθ,故曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ, 变形可得:ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ, 故C2的直角坐标方程为x2+y2=2x+4y,即(x﹣1)2+(y﹣2)2=5; (Ⅱ)设点A,B对应的参数分别为t1、t2,则|MA|=t1,|MB|=t2, 设直线l的参数方程,(t为参数), 代入C2的直角坐标方程(x﹣1)2+(y﹣2)2=5中, 整理得t2﹣2(cosα+sinα)t﹣3=0. 由根与系数的关系得t1+t2=2(cosα+sinα),t1t2=﹣3, 则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===≥2, 当且仅当sin2α=﹣1时,等号成立, 此时l的普通方程为x+y﹣1=0. 36.答案:见试题解答内容 解答:(1)在直角坐标系xOy中,由x=4cos=4×,y=4sin=4×=2, 可得点. 由,得,即, . ∴曲线C1为圆,圆心为,半径为1, ∴|O1N|=3, ∴|MN|的最小值为3﹣1=2; (2)由(1)知,曲线C1为圆, 曲线C2的参数方程为:(α为参数,t>0), 即,移向后平方作和得: , ∴曲线C2为圆心为,半径为t的圆, ∵曲线C1与曲线C2有两个不同交点, ∴,解得, ∴正数t的取值范围是. 37.答案:见试题解答内容 解答:点M的直角坐标为(1,1,3),点N的直角坐标为(0,,). ∴|MN|==. 38.答案:见试题解答内容 解答:设点C的柱坐标为(ρ1,θ1,z1), 则ρ1=|OC|=3,,z1=0, ∴C的柱坐标为 ; 设点B′的柱坐标为(ρ2,θ2,z2), 则, , ∴B′的柱坐标为 ; 如图,取OB的中点E,连接PE, 设点P的柱坐标为(ρ3,θ3,z3), 则 , 点P的柱坐标为 . 39.答案:见试题解答内容 解答:设M的球坐标为(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π, 则r=OM==2, cosφ=,∴φ=. 又,∴θ=. ∴M的球坐标为(2,,). 40.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2. ∴C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆. 化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.① 由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0; (Ⅱ)方法一、曲线C1与C2的公共点的极坐标满足: , 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ﹣8sinθcosθ+1﹣a2=0. 由已知tanθ=2,可得16cos2θ﹣8sinθcosθ=0. 从而1﹣a2=0,解得a=﹣1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1与C2的公共点,在曲线C3上, ∴a=1; 方法二、C2:ρ=4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ, ∴x2+y2=4x,② 即(x﹣2)2+y2=4. 由C3:θ=α0,其中α0满足tanα0=2,得y=2x, ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上, ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程, ①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即为C3, ∴1﹣a2=0, ∴a=1(a>0). _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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    中小学教育资源及组卷应用平台 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第1讲几何证明选讲(二)大全集练习题 一.选择题(共12小题) 1.直角三角形ABC的斜边BC在平面α内,顶点A在平面α外,则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形是(  ) A.一条线段 B.一个锐角三角形 C.一个钝角三角形 D.一条线段或一个钝角三角形 2.如图,△PAD为等边三角形,四边形ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD.若点M为平面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为(  ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C.一段圆弧 D.一条线段 3.如图是一种花瓶的直观图,其侧面可以看成由线段AB绕轴旋转一周得到.已知侧面与轴所在平面的交线是双曲线的一部分,若花瓶的口径(直径)为,底部直径为,最细部分直径为2dm,高为3dm,则双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 4.如图,F1,F2是双曲线x2与椭圆C2的公共焦点,点A是C1,C2在第一象限的公共点.若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是(  ) A. B. C. D. 5.如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=CD,有以下结论:①∠BAE=30°;②△ABE∽△AEF; ③AE⊥EF; ④△ADF∽△ECF. 其中正确的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,已知AD∥BE∥CF,下列比例式成立的是(  ) A. B. C. D. 7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=θ,M为AB的中点.将△ACM沿着CM翻折至△A'CM,使得A'M⊥MB,则θ的取值不可能为(  ) A. B. C. D. 8.如图,四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上,若∠BAD=,CD=2,则BC=(  ) A.2 B.4 C. D. 9.如图,在半径为10的圆O中,∠AOB=90°,C为OB的中点,AC的延长线交圆O于点D,则线段CD的长为(  ) A. B.2 C.3 D.5 10.如图,EB、EC是⊙O的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙O上两点,如果∠E=46°,∠DCF=32°,则∠A的大小为(  ) A.70° B.80° C.90° D.99° 11.Rt△ABC中,斜边BC为4,以BC中点为圆心,作半径为1的圆,分别交BC于P、Q两点,则|AP|2+|AQ|2+|PQ|2的值为(  ) A.4+ B.3+ C. D.14 12.如图,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD,EF切⊙O于C点,那么图中与∠DCF相等的角的个数是(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 二.填空题(共15小题) 13.已知正四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转,CD∥平面α.若AB=2,VA=,则正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是   . 14.如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ(0°<θ<90°)的平面所截,截面是一个椭圆,当θ为30°时,这个椭圆的离心率为   . 15.如图,在底面半径和高均为4的圆锥中,AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径,E是母线PB的中点,若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为   . 16.已知集合P={(x,y)|x|x|+y|y|=16},集合Q={(x,y)|kx+b1≤y≤kx+b2},若P?Q,则的最小值为   . 17.如图,已知Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为6cm,8cm,以AC为直径的圆与AB交于点D则BD=   cm. 18.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AD=4,sin∠ACD=,则CD=   ,BC=   . 19.如图,已知半圆的直径|AB|=20,l为半圆外一直线,l⊥BA且与BA的延长线交于点T,|AT|=4,半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件,则|AM|+|AN|的值为   . 20.如图,已知O为△ABC的重心,∠BOC=90°,若4BC2=AB?AC,则A的大小为   . 21.如图,AC⊥BC,CD⊥AB,DE⊥BC,垂足分别为C、D、E.若AC=6,DE=4,则CD的长为   . 22.如图圆O的半径为3,∠BAC=30°,则弦BC=   . 23.已知圆的两条平行弦的长度分别为6和8,若这个圆的半径为5,则这两条平行弦之间距离为   . 24.如图所示,⊙O的两条切线PA和PB相交于点P,与⊙O相切于A,B两点,C是⊙O上的一点,若∠P=70°,则∠ACB=   . 25.如图,,P是以AB为直径的半圆弧上的动点,以CP为一边作正△CPD,则的最大值是   . 26.(选做题)如图,AB的延长线上任取一点C,过C作圆的切线CD,切点为D,∠ACD的平分线交AD于E,则∠CED=   . 27.如图,四边形ABCD内接于圆O,若AB=1,AD=2,BC=BDcos∠DBC+CDsin∠BCD,则S△BCD的最大值为   . 三.解答题(共13小题) 28.在有阳光时,一根长为3米的旗轩垂直于水平地面,它的影长为米,同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上,如图所示,求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示). 29.在空中,取直线l为轴,直线l与l′相交于O点,夹角为30°,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面.已知直线l∥平面α,l与α的距离为2,平面α与圆锥面相交得到双曲线Γ.在平面α内,以双曲线Γ的中心为原点,以双曲线的两个焦点所在直线为y轴,建立直角坐标系. (Ⅰ)求双曲线Γ的方程; (Ⅱ)在平面α内,以双曲线Γ的中心为圆心,半径为2的圆记为曲线Γ′,在Γ′上任取一点P,过点P作双曲线Γ的两条切线交曲线Γ′于两点M、N,试证明线段MN的长为定值,并求出这个定值. 30.已知椭圆C:,(a>b>0)的两焦点分别为F1、F2,,离心率.过直线l:上任意一点M,引椭圆C的两条切线,切点为A、B. (1)在圆中有如下结论:“过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为:x0x+y0y=r2”.由上述结论类比得到:“过椭圆(a>b>0),上一点P(x0,y0)处的切线方程”(只写类比结论,不必证明). (2)利用(1)中的结论证明直线AB恒过定点(); (3)当点M的纵坐标为1时,求△ABM的面积. 31.如图,过⊙O外一点P作一条割线与⊙O交于C、A两点,直线PQ切⊙O于点Q,BD为过CA中点F的⊙O的直径. (1)已知PC=4,PQ=6,求DF?BF的值; (2)过D作⊙O的切线交BA的延长线于点E,若CD=,BC=5,求AE的值. 32.如图,已知BE∥CF∥DG,AB:BC:CD=1:2;3,CF=12cm,求BE,DG的长. 33.已知△ABC内接于☉O,BT为☉O的切线,P为直线AB上一点,过点P作BC的平行线交直线BT于点E,交直线AC于点F. (1)如图①,求证:当点P在线段AB上时,PA?PB=PE?PF. (2)如图②,当点P在线段AB的延长线上时,上述结论是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由. 34.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.求证:AE?AB=AF?AC. 35.选做题:平面几何 已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,过D点作⊙O的切线交AC于E. 求证:(1)DE⊥AC; (2)BD2=CE?CA. 36.因改卷系统故障,不能进行数据分析,年级为了解某次高二年级月考数学测试成绩分布情况,从改卷系统中抽取了部分学生的数学成绩,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图),又已知图中从左到右各小长方形的面积之比为2:4:18:14:9:3,且50﹣70分的频数为8. (1)50﹣70分对应的频率是多少?本次抽取的样本容量是多少? (2)测试成绩达90分以上的为及格,试估计本次考试年级的及格率. (3)本次数学测试成绩的中位数落在哪一个分数段内?请说明理由. 37.如图,四边形ABCD为正方形,以AB为直径 的半圆E与以C为圆心CB为半径的圆弧相交于点P,过点P作圆C的切线PF交AD于点F,连接CP. (Ⅰ)证明:CP是圆E的切线; (Ⅱ)求的值. 38.AB是⊙O的直径,D为⊙O上一点,过点D作⊙O的切线交AB延长线于C,若DA=DC,求证:AB=2BC. 39.如图所示,已知圆O的半径长为4,两条弦AC,BD相交于点E,若,BE>DE,E为AC的中点,. (1)求证:AC平分∠BCD; (2)求∠ADB的度数. 40.如图,圆O的内接△ABC中,AB=AC,D是圆O上的一点,AD的延长线交BC的延长线于P. (1)求证:AB2=AD?AP. (2)若圆O的直径为25,AB=20,AD=10,求PC的长. 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第1讲几何证明选讲(二)大全集练习题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题) 1.答案:D 解答:若平面ABC与α垂直,则直角边BA、直角边AC在平面α上的射影即为线段BC, 若平面ABC与α不垂直,A′为A点在α上的投影 令直角边AC在平面α上的射影CA′,由三垂线定理可得CA′<CA; 令直角边AB在平面α上的射影BA′,由三垂线定理可得BA′<BA; 故直角边BA、直角边边AC在平面α上的射影与斜边BC组成的图形为钝角三角形 故选:D. 2.答案:D 解答:在空间中,存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面, 平面上点到P,C两点的距离相等,记此平面为α 平面α与平面ABCD有一个公共点,则它们有且只有一条过该点的公共直线. 故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段. 故选:D. 3.答案:A 解答:由已知中花瓶的口径(直径)为, 底部直径为,最细部分直径为2dm,高为3dm, 则2a=2,即a=1, 令双曲线的方程为:, 则双曲线过(,y1)和(,y2)且y1﹣y2=3, 将(,y1)和(,y2)代入得: y1=2b,y2=﹣b, 则y1﹣y2=3b=3, 故b=1, c=, e= 故选:A. 4.答案:B 解答:由双曲线C1:x2可得a1=1,b1=2,c=. 椭圆C2中,|F1A|﹣|F2A|=2a1=2,|F1A|+|F2A|=2a, ∴2|F1A|=2a+2 ∵|F1F2|=|F1A|=2c=2, ∴2×2=2a+2,解得a=2﹣1. 则C2的离心率:==. 故选:B. 5.答案:B 解答:∵在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且CF=CD, ∴∠B=∠C=90°,AB:EC=BE:CF=2:1. ∴△ABE∽△ECF. ∴AB:EC=AE:EF,∠AEB=∠EFC. ∵BE=CE,∠FEC+∠EFC=90°, ∴AB:AE=BE:EF,∠AEB+∠FEC=90°. ∴∠AEF=∠B=90°. ∴△ABE∽△AEF,AE⊥EF. ∴②③正确. 故选:B. 6.答案:B 解答:∵AD∥BE∥CF, ∴根据平行截割定理,可得. 故选:B. 7.答案:A 解答:如图所示,把△A′CM继续旋转, 一直旋转到平面ABC里面,这时A′在A″位置, 这时∠AMN==∠A″MN,, 此时,∠A″MB是直线A′M和BM所成的最小角, ∵>不成立,∴θ的取值不可能为. 故选:A. 8.答案:A 解答:由题意,,∴BD=2, ∵∠BAD=,∴∠BCD=, ∵CD=2, ∴12=BC2+4﹣2BC, ∴BC2+2BC﹣8=0, ∴BC=2. 故选:A. 9.答案:C 解答:在直角三角形AOC中,AO=10,OC=5, 可得AC===5, 延长BO交圆于E,则BC=5,CE=15, 圆的相交弦定理可得,AC?CD=BC?CE, 即有CD===3. 故选:C. 10.答案:D 解答:∵EB、EC是⊙O的切线, ∴EB=EC, 又∵∠E=46°, ∴∠ECB=∠EBC=67°, ∴∠BCD=180°﹣(∠BCE+∠DCF)=180°﹣99°=81°; ∵四边形ADCB内接于⊙O, ∴∠A+∠BCD=180°, ∴∠A=180°﹣81°=99°. 故选:D. 11.答案:D 解答:由题意,OA=OB=2,OP=OQ=1 △AOP中,根据余弦定理AP2=OA2+OP2﹣2OA?OPcos∠AOP 同理△AOQ中,AQ2=OA2+OQ2﹣2OA?OQcos∠AOQ 因为∠AOP+∠AOQ=180°, 所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=2OA2+2OP2+PQ2=2×22+2×12+(2×1)2=14. 故选:D. 12.答案:B 解答:由已知及弦切角定理可得:∠DCF=∠DAC① 又∠DAC=∠DBC, 所以:∠DCF=∠DBC②. 又AC平分∠BAD, ∠DCF=∠BAC③, 又∠BDC=∠BAC, 所以:∠DCF=∠BDC④, 又由弦切角定理可得:∠BAC=∠BCE, 所以:∠DCF=∠BCE⑤, 综上,图中与∠DCF相等的角的个数是5. 故选:B. 二.填空题(共15小题) 13.答案:见试题解答内容 解答:由题意,侧面上的高为=2,∴侧面的面积为=2, 又由于底面的面积为2×2=4, 当正四棱锥的高平行于面时面积最小是, ∴正四棱锥V﹣ABCD在面α内的投影面积的取值范围是[,4), 故答案为:[,4). 14.答案:见试题解答内容 解答:因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截,其截口是一个椭圆, 则这个椭圆的短半轴为:R,长半轴为:, ∵a2=b2+c2,∴c=, ∴椭圆的离心率为:e==. 故答案为:. 15.答案:见试题解答内容 解答:如图所示,过点E作EH⊥AB,垂足为H. ∵E是母线PB的中点,圆锥的底面半径和高均为4, ∴OH=EH=2. ∴OE=2. 在平面CED内建立直角坐标系如图. 设抛物线的方程为y2=2px (p>0),F为抛物线的焦点. C(2,4), ∴16=2p?(2), 解得p=2. F(,0). 即OF=,EF=, ∵PB=4,PE=2, ∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为==, 故答案为:. 16.答案:见试题解答内容 解答:当x≥0,y≥0时,x2+y2=16,即y=; 当x≥0,y<0时;x2﹣y2=16,即 当x<0,y≥0时;﹣x2+y2=16,即y= 当x<0,y<0时,x2+y2=﹣16,舍去. 作出图象,x2﹣y2=16的一条渐近线为y=﹣x,与该渐近线平行, 且与圆x2+y2=16的一条切线为, 由图可知,k=﹣1,最小值为 =. 故答案为:4. 17.答案:见试题解答内容 解答:∵Rt△ABC的两条直角边AC,BC的长分别为6cm,8cm, 以AC为直径的圆与AB交于点D, ∴, ∴, 解得BD+AD=10,BD==. 故答案为:. 18.答案:见试题解答内容 解答:在Rt△ADC中,AD=4,sin∠ACD==,得AC=5, 又由射影定理AC2=AD?AB,得AB==. ∴BD=AB﹣AD=﹣4=, 由射影定理CD2=AD?BD=4×=9, ∴CD=3. 又由射影定理BC2=BD?AB=, 解得BC=. 故答案为:3,. 19.答案:见试题解答内容 解答:以AT的中点O为坐标原点,AT的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系, 得半圆方程为(x﹣12)2+y2=100,(y≥0) ∵半圆上相异两点M、N与直线l的距离|MP|、|NQ|满足条件, 设M(x1,y1),N(x2,y2),M,N在以A为焦点、PT为准线的抛物线上, 以AT的垂直平分线这y轴,TA方向为x轴建立坐标系, 则有抛物线方程为y2=8x,(y≥0) 联立,得x2﹣16x+44=0, ∴x1+x2=16, ∴|AM|+|AN|=|MP|+|NQ|=x1+x2+4=20. 故答案为:20. 20.答案:见试题解答内容 解答:cosA=,连接AO并且延长与BC相交于点D. 设AD=m,∠ADB=α. 则AB2=﹣2××mcosα, AC2=m2+﹣2m××cos(π﹣α), 相加可得:AB2+AC2=2m2+. m2=(3OD)2==. ∴AB2+AC2=5BC2. 又4BC2=AB?AC, ∴cosA=,A∈(0,π) ∴A=, 故答案为:. 21.答案:见试题解答内容 解答:∵AC⊥BC,DE⊥BC, ∴DE∥AC, ∵AC=6,DE=4, ∴==, 设AD=x,则AB=3x,由射影定理可得36=x?3x, ∴x=2, ∴BD=4 由射影定理可得CD==2. 故答案为:2. 22.答案:见试题解答内容 解答:连接OB,OC. ∵∠BAC=30°, ∴∠BOC=2∠BAC=60°, ∵OB=OC, ∴△OBC是等边三角形, ∴BC=OB=OC=3. 故答案为:3. 23.答案:见试题解答内容 解答:在直角△OAC中,AC=AB=3, OC===4, 同理,EF的弦心距是3, 当两条平行线在圆心的两侧时:两条平行弦之间的距离是4+3=7; 当两条平行线在圆心的同侧时:两条平行弦之间的距离是4﹣3=1. 故答案为:7或1. 24.答案:见试题解答内容 解答:连接OA、OB, ∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B, ∴OA⊥AP,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,又∠P=70°, ∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣70°=110°, 又∵∠ACB和∠AOB分别是所对的圆周角和圆心角, ∴∠ACB=∠AOB=×110°=55°. 故答案为:55°. 25.答案:见试题解答内容 解答:将△POC绕P点按逆时针方向旋转60°,得△PED, 从而|OD|≤|OE|+|ED|=1+3=4. 故答案为:4. 26.答案:见试题解答内容 解答:连接BD,BD与EC相交于点F, 因为CD为圆O的切线,由弦切角定理,则∠A=∠BDC. 又CE平分∠ACD,则∠DCE=∠ACE. 所以∠A+∠ACE=∠BDC+∠DCE. 根据三角形外角定理,∠DEF=∠DFE, 因为AB是圆O的直径,则∠ADB=90°,所以△EFD是等腰直角三角形, 所以∠CED=∠DFE=45°. 故答案为:45° 27.答案:见试题解答内容 解答:由题意知,△BCD中,由正弦定理得sin∠BDC=sin∠BCDcos∠DBC+sin∠DBC?sin∠BCD, 又∠BDC=π﹣(∠DBC+∠BCD),所以sin(∠DBC+∠BCD)=sin∠BCDcos∠DBC+sin∠DBCsin∠BCD, 展开整理得sin∠DBCcos∠BCD=sin∠DBCsin∠BCD, 因为sin∠DBC≠0,所以tan∠BCD=, 故∠BCD=; 又四边形ABCD内接于圆,所以∠A=π﹣=; 在△ABD中,由余弦定理得,BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=1+4﹣2×1×2×cos=7, 因此BD=; 在△BCD中,由余弦定理得,BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcos=BC2+CD2﹣BC?CD, ∴7=BC2+CD2﹣BC?CD≥2BC?CD﹣BC?CD=BC?CD, ∴BC?CD≤7,当且仅当BC=CD=时“=”成立; 所以S△BCD=BC?CD?sin∠BCD=BC?CD?sin=BC?CD≤, 所以S△BCD的最大值为. 故答案为:. 三.解答题(共13小题) 28.答案:见试题解答内容 解答:由题意知,光线与地面成60°角, 设球的阴影部分面积为S, 垂直于光线的大圆面积为S′,则Scos30°=S′, 并且S′=9π,所以S=6π(米2). 29.答案:见试题解答内容 解答:(本小题满分12分) 解:(Ⅰ)如右图,O'为双曲线的中心,OO'为轴l与平面α的距离|OO'|=2, A为双曲线的顶点,∠AOO'=60°,∴.…(1分) 在轴l上取点C,使得|OC|=4,过C作与轴l垂直的平面, 交圆锥面得到圆C,圆C与双曲线相交于D、E,DE的中点为B, 由题意知,|CB|=2,|CD|=4,得|BD|=2, 从而双曲线的实半轴长为2,且过点(2,4).…(4分) 设双曲线的标准方程为,将点(2,4)代入方程得b2=4, 所以双曲线的标准方程为…(5分) 证明:(Ⅱ)在条件(Ⅰ)下,双曲线Γ的两切线PM、PN都不垂直x轴,…(6分) 设点P的坐标为(x0,y0),令过点P的切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x﹣x0)+y0, :…(8分) 由△=0,化简得:…(9分) 令PM、PN的斜率分别为k1、k2,,…(10分) 因点P(x0,y0)在圆Γ'上,则有,得:,∴k1k2=﹣1,…(11分) 知PM⊥PN,线段MN是圆O的直径,|MN|=4.…(12分) 30.答案:见试题解答内容 解答:(1)类比过圆上一点的切线方程,可合情推理: 过椭圆(a>b>0),上一点P(x0,y0)处的切线方程为. (2)由,离心率 得,a=3∴b=1 ∴椭圆C的方程为: l的方程为: 设A(x1,y1),B(x2,y2),M的纵坐标为t,即, 由(1)的结论 ∴MA的方程为 又其过点, ∴ 同理有 ∴点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线上; 当,y=0时,方程恒成立, ∴直线AB过定点 (3)t=1∴消去y得, ∴,x1x2=0, ∴. 31.答案:见试题解答内容 解答:(1)由切割线定理,可得PQ2=PC?PA, ∴PA==9, ∴CA=PA﹣PC=5, ∵F是CA的中点, ∴AF=FC=. 由相交弦定理,可得DF?BF=AF?FC=; (2)∵BD是直径,F是AC的中点, ∴AD=CD=,AB﹣BC=5. ∵DE是切线, ∴BD⊥DE, ∵AD⊥AB, ∴AD2=AB?AE, ∴AE==2. 32.答案:见试题解答内容 解答:解∵BE∥CF,∴, ∵AB:BC=1:2, ∴AE:AF=1:3. ∵CF=12 cm, ∴BE=12×=4(cm). ∵CF∥DG, ∴. 又∵AB:BC:CD=1:2:3, ∴=. ∴DG=?CF=24(cm). 33.答案:见试题解答内容 解答:证明:如图①,∵EB为⊙O的切线, ∴∠ACB=∠ABE,再由EF∥BC可得∠AFP=∠ACB, 故∠AFP=∠ABE. 由于∠AFP=∠EPB,∴△APF∽△BPE. ∴=, ∴PA?PB=PE?PF. 解:(2)如图②,当点P在线段AB的延长线上时, (2)的结论仍成立. 证明如下: ∵EB为⊙O的切线, ∴∠ACB=∠ABT,再由EF∥BC可得∠ACB=∠ABT=∠AFP,又∠ABT=∠PBE, ∴∠AFP=∠PBE. 再由∠BPE=∠FPA,可得△PAF∽△PEB, ∴=, ∴PA?PB=PE?PF. 34.答案:见试题解答内容 解答:证明:∵AD⊥BC, ∴△ADB为直角三角形, 又∵DE⊥AB,由射影定理知,AD2=AE?AB. 同理可得AD2=AF?AC, ∴AE?AB=AF?AC. 35.答案:见试题解答内容 解答:证明:(1)连接OD、AD. ∵DE是⊙O的切线,D为切点, ∴OD⊥DE.(2分) ∵AB是⊙O的直径, ∴AD⊥BC.又AB=AC, ∴BD=DC, ∴OD∥AC, ∴DE⊥AC.(6分) (2)∵AD⊥BC,DE⊥AC, 在Rt△ACD中,由射影定理得CD2=CE?CA. 又BD=DC. ∴BD2=CE?CA.(10分) 36.答案:见试题解答内容 解答:(1)0.004×20=0.08;=100; (2)(0.014+0.010+0.002)×20=0.52; (3)由题可知,落在各分数段的频数分别为:4,8,36,28,18,6, 故中位数落在90﹣110这个分数段. 37.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)证明:连接PB,PE,则EB=EP, ∴∠EPB=∠EBP. ∵CP=CB, ∴∠CPB=∠CBP, ∴∠CPB+∠EPB=∠CBP+∠EBP=90°, ∴CP⊥PE, ∵PE是圆E的半径, ∴CP是圆E的切线; (Ⅱ)解:由题意,PF⊥CP,EP⊥CP, ∴E,P,F三点共线, ∵FD为圆的切线, ∴FD=FP. ∵PE=EB, ∴Rt△EAF中,AF2+AE2=EF2, ∴(AD﹣PF)2+()2=(PF+)2, ∴AD=3PF, ∴AF=2PF, ∴=2. 38.答案:见试题解答内容 解答:证明:法一:连接OD,则:OD⊥DC, 又OA=OD,DA=DC, 所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=30°,∠DOC=60°, 所以OC=2OD, 即OB=BC=OD=OA, 所以AB=2BC. 证法二:连接OD、BD. 因为AB是圆O的直径,所以∠ADB=90°, AB=2OB. 因为DC是圆O的切线,所以∠CDO=90°. 又因为DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而AB=CO. 即2OB=OB+BC,得OB=BC.故AB=2BC. 39.答案:见试题解答内容 解答:(1)由E为AC的中点,,得. 又∠BAE=∠CAB, ∴△ABE∽△ACB, ∴∠ABE=∠ACB, 又∠ACD=∠ABE, ∴∠ACD=∠ACB, 故AC平分∠BCD. (2)连接OA,由点A是弧BAD的中点,则OA⊥BD, 设垂足为点F,则点F为弦BD的中点,, 连接OB,则, ∴,∠AOB=60°. ∴°. 40.答案:见试题解答内容 解答:(1)即证,也即证△ABD~△ABP. ∵∠BAD=∠PAB,∠ADB=∠ACB=∠ABP,∴△ABD~△ABP, 即得证AB2=AD?AP. (2)由(1)可知AP=40,PD=30, 延长AO交圆于M,交BC于E,则AE⊥BC且平分BC. 设AE=a;则EM=25﹣a;BE=; RT△ABM中,BE2=AE?EM?400﹣a2=a(25﹣a)?a=16; ∴可求得EC=12,BC=24, ∴由PC?PB=PD?PA,即PC(24+PC)=30×40=1200,即PC2+2h4PC﹣1200=0 解得PC=﹣12+8(负值舍). _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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  • ID:3-8096092 [精]【2021年高考数学二轮复习】专题八高等数学第4讲不等式选讲(二)专题复习(含解析)

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    中小学教育资源及组卷应用平台 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第4讲不等式选讲(二)大全集练习题(含答案) 一.选择题(共12小题) 1.用数学归纳法证明“(3n+1)?7n﹣1(n∈N*)能被9整除”,在假设n=k时命题成立之后,需证明n=k+1时命题也成立,这时除了用归纳假设外,还需证明的是余项(  )能被9整除. A.3×7k+6 B.3×7k+1+6 C.3×7k﹣3 D.3×7k+1﹣3 2.已知a,b,c是正实数,且ab+bc+ac=1,则abc的最大值为(  ) A. B. C.1 D. 3.求证,q=(x1﹣a)2+(x2﹣a)2+…+(xn﹣a)2若则一定有(  ) A.P>q B.P<q C.P、q的大小不定 D.以上都不对 4.若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=16,则2a+b+c的最小值为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为(  ) A. B. C. D.6 6.用数学归纳法证明不等式成立,起始值至少应取为(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 7.不等式|a﹣b|≤|a﹣1|+|b﹣1|取等号的条件是(  ) A.(a﹣1)(a﹣1)<0 B.(a﹣1)(b﹣1)≤0 C.(a﹣1)(b﹣1)>0 D.(a﹣1)(b﹣1)≥0 8.已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是(  ) A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若ab>0,bc﹣ad>0,则﹣>0 C.若a>b,c>d,则a+d>b+c D.若a>b,c>d>0,则> 9.不等式|x+1|>2的解集是(  ) A.{x|﹣1<x<1} B.{x|x<﹣1或x>1} C.{x|﹣3<x<1} D.{x|x<﹣3或x>1} 10.下列不等式成立的有(  ) ①||a|﹣|b||≤|a﹣b|, ②, ③(a2+b2)(c2+d2)≤(ac+bd)2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.已知t=a+2b,s=a+b2+1,则t和s的大小关系中正确的是(  ) A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s 12.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,假设正确的是(  ) A.假设至少有一个钝角 B.假设至少有两个钝角 C.假设没有一个钝角 D.假设没有一个钝角或至少有两个钝角 二.填空题(共13小题) 13.已知,x,y,z∈R+,且x2+y2+z2=1,则的最小值是   . 14.设S1=12,S2=12+22+12,S3=12+22+32+22+12,…,Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12.希望证明Sn=,在应用数学归纳法求证上式时,第二步从k到k+1应添的项是   .(不用化简) 15.已知正实数x,y,z满足x+y+z=1,++=10,则xyz的最大值为   . 16.已知函数f(x)的定义域为D.若对于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得=M成立,则称函数f(x)在D上的几何平均数为M.已知函数g(x)=3x+1(x∈[0,1]),则g(x)在区间[0,1]上的几何平均数为   . 17.已知x、y、z均为正数,则的最大值为   . 18.已知x,y,z∈R+,α,β,γ∈(0,π),且x2+3y2+4z2=6,α+β+γ=2π,则xysinα+xzsinβ+yzsinγ的最大值为   . 19.设,则f(k+1)﹣f(k)=   . 20.不等式|2x﹣1|<3的解集为   . 21.定义运算x?y,若|m﹣1|?m=|m﹣1|,则m的取值范围是   . 22.已知函数f(x)=|x﹣1|+|x+a|,g(x)=|2x﹣3|+|x﹣1|,若对任意x1∈R,都存在x2∈R,使得g(x2)=f(x1),则实数a的取值范围是   . 23.已知函数f(x)=x|x﹣4|,则不等式f(a+2)>f(3)的解集为   . 24.已知a、b为正实数,则+与+的大小关系为   . 25.设,则A与B的大小关系是   . 三.解答题(共12小题) 26.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣n(n∈N*). (1)求a1,a2,a3,的值,猜想数列{an}的通项公式并加以证明; (2)求a1+a3+a5+…+a2n+3(n∈N*). 27.写出三元均值不等式的形式并证明.(默认已知二元均值不等式) 28.若a>0,b>0,且+=. (Ⅰ)求a3+b3的最小值; (Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 29.设A是由n个有序实数构成的一个数组,记作:A=(a1,a2,…,ai,…,an).其中ai(i=1,2,…,n)称为数组A的“元”,S称为A的下标.如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”,则称A=(a1,a2,…,an)为B=(b1,b2,…bn)的子数组.定义两个数组A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn)的关系数为C(A,B)=a1b1+a2b2+…+anbn. (Ⅰ)若,B=(﹣1,1,2,3),设S是B的含有两个“元”的子数组,求C(A,S)的最大值; (Ⅱ)若,B=(0,a,b,c),且a2+b2+c2=1,S为B的含有三个“元”的子数组,求C(A,S)的最大值. 30.已知凸n边形A1A2A3…An的面积为1,边长AiAi+1=ai(i=1,2,…,n﹣1),AnA1=an,其内部一点P到边AiAi+1=ai(i=1,2,…,n﹣1)的距离分别为d1,d2,d3,…,dn.求证:. 31.已知(x+1)n=a0+a1(x﹣1)+a2(x﹣1)+a3(x﹣1)3+…+an(x﹣1)n,(其中n∈N*) (1)求a0及; (2)试比较Sn与(n﹣2)2n+2n2的大小,并说明理由. 32.a为何值时,方程组的解是正数? 33.设函数f(x)=|x+3|+|2x﹣a|﹣1,a∈R. (Ⅰ)若不等式f(x)+|x+3|≥3对任意的x∈R成立,求实数a的取值范围; (Ⅱ)当a>﹣6时,函数φ(x)=2(|x+3|﹣x)﹣f(x)有三个不同的零点,求a的取值范围. 34.设函数f(x)=|2x﹣1|. (1)解关于x的不等式f(2x)≤f(x+1); (2)若实数a,b满足a﹣2b=2,求f(a+1)+f(2b﹣1)的最小值. 35.已知a>0,b>0,a+b=4. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证:. 36.设m≠n,x=m4﹣m3?n,y=n3?m﹣n4,比较x与y的大小. 37.若a<e,用反证法证明;函数f(x)=3xex﹣2ax2(x>0)无零点. 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第4讲不等式选讲(二)大全集练习题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共12小题) 1.答案:B 解答:假设n=k时命题成立,即(3k+1)?7k﹣1能被9整除, 那么,当n=k+1时,[3(k+1)+1]?7k+1﹣1﹣[(3k+1)?7k﹣1] =(3k+4)?7k+1﹣(3k+1)?7k=[(3k+1)+3]?7k+1﹣(3k+1)?7k =(3k+1)?7k+1+3?7k+1﹣(3k+1)?7k=6?(3k+1)?7k+3?7k+1 =6?[(3k+1)?7k﹣1]+3?7k+1+6, ∵(3k+1)?7k﹣1能被9整除, ∴要证上式能被9整除,还需证明3?7k+1+6也能被9整除. 故选:B. 2.答案:A 解答:∵a,b,c是正实数,且ab+bc+ac=1,∴=≥, ∴(abc)2≤,∴abc≤,即 abc的最大值为 , 故选:A. 3.答案:B 解答:设f(x)=(x1﹣x)2+(x2﹣x)2+…+(xn﹣x)2, 则f(x)=nx2﹣2(x1+x2+…+xn)x+x12+x22+…+xn2 当时,f(x)取得最小值, 即P<q. 故选:B. 4.答案:D 解答:因为a(a+b+c)+bc=16, 所以16×4=(a2+ab+ac+bc)×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=(2a+b+c)2, 所以2a+b+c≥8, 所以2a+b+c的最小值为8. 故选:D. 5.答案:C 解答:由柯西不等式,可得(x+3y+5z)2≤(12+32+52)(x2+y2+z2), 即36≤35(x2+y2+z2),所以x2+y2+z2≥, 当x==时,取等号, 则x2+y2+z2的最小值为. 故选:C. 6.答案:B 解答:左边的和为,当n=8时,和为, 故选:B. 7.答案:B 解答:∵|a﹣1|+|b﹣1|=|a﹣1|+|1﹣b|≥|(a﹣1)+(1﹣b)|=|a﹣b|, 当且仅当(a﹣1)(1﹣b)≥0,即(a﹣1)(b﹣1)≤0时取等号. 故选:B. 8.答案:B 解答:若a>b>0,c>d>0,则ac>bd,所以A不正确; 若ab>0,bc﹣ad>0,可得(bc﹣ad)>0,即>>0,所以B正确; 反例a=﹣3,b=﹣2,c=2,d=1,满足a>b,c>d,但a+d<b+c,所以C不正确; 反例a=﹣3,b=﹣5,c=5,d=1,满足a>b,c>d>0,但结<,所以D不正确, 故选:B. 9.答案:D 解答:因为|x+1|>2,所以x+1>2或x+1<﹣2, 所以x>1或x<﹣3, 所以不等式的解集为{x|x>1或x<﹣3}. 故选:D. 10.答案:B 解答:对于①|a﹣b|2﹣||a|﹣|b||2=a2﹣2ab+b2﹣(a2﹣2|ab|+b2)=2(|ab|﹣ab)≥0, 故|a﹣b|2≥||a|﹣|b||2,即||a|﹣|b||≤|a﹣b|,故①成立, 对于②当a=﹣3,b=﹣2,c=0时,则a+b+c=﹣5,3=0,则a+b+c<3,故②不成立, 对于③(ac+bd)2﹣(a2+b2)(c2+d2)=2abcd﹣b2c2﹣a2d2=﹣(bc﹣ad)2≤0, 故(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,即③不成立, 故选:B. 11.答案:D 解答:s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=(b﹣1)2≥0, 故有 s≥t, 故选:D. 12.答案:B 解答:用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时,应先假设“至少有两个钝角”, 故选:B. 二.填空题(共13小题) 13.答案:见试题解答内容 解答:由题意可得,0<z<1,0<1﹣z<1 S=≥=, 令t=1+z>1,则S==≥=6+4, ∴的最小值是6+4. 故答案为:6+4. 14.答案:(k+1)2+k2. 解答:当n=k时,Sn=12+22+32+…+k2+…+32+22+12, 那么,当n=k+1时,Sk+1=12+22+32+…k2+(k+1)2+k2+…+32+22+12. 从k到k+1应添的项是(k+1)2+k2, 故答案为:(k+1)2+k2. 15.答案:见试题解答内容 解答:∵x+y+z=1,∴z=1﹣(x+y), ∴, 即=10, 设xy=a,x+y=b,则0<a<1,0<b<1, ∴,化简得a=. ∴xyz=xy[1﹣(x+y)]=a(1﹣b)=(1﹣b)?=. 令f(b)=,则f′(b)=, 令f′(b)=0得﹣20b3+47b2﹣36b+9=0,即(4b﹣3)(5b﹣3)(1﹣b)=0, 解得b=或b=或b=1(舍), ∴当0<b<或时,f′(b)>0, 当时,f′(b)<0, ∴f(b)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,1)上单调递增, ∴当b=时,f(b)取得极大值f()=. 又f(1)=0, ∴f(b)的最大值为. 故答案为. 16.答案:见试题解答内容 解答:根据已知中关于函数g(x)在D上的几何平均数为C的定义, 结合g(x)=3x+1在区间[0,1]单调递增 则x1=0时,存在唯一的x2=1与之对应C==2, 故答案为:2. 17.答案:见试题解答内容 解答:x、y、z均为正数, 可设x2+y2+z2=x2+ky2+my2+z2≥2xy+2yz, 可得k+m=1,且k,m>0,:=1:3, 解得k=,m=, 则=≤=, 当且仅当x=,=z时取得等号, 则的最大值为, 故答案为:. 18.答案:. 解答:如图所示:过 O 作 OD⊥AB 于 D,设 OA=x,OB=y,,, 所以xysinα+xzsinβ+yzsinγ=2S△ABC, 当 x>0,y>0 时,根据柯西不等式: , 得到,当 时等号成立, x2+3y2+4z2=6,即 a2+h2+3(b2+h2)+4z2=6, 即a2+4h2+3b2+4z2=6, 于是, 所以,当 O,C,D 三点共线,且 a=3b,h=z时等号成立. 故答案为:. 19.答案:见试题解答内容 解答:当n=k+1时,, 当n=k时,, 则f(k+1)﹣f(k)=﹣() =, 故答案为:. 20.答案:见试题解答内容 解答:∵|2x﹣1|<3 ?﹣3<2x﹣1<3 ?﹣1<x<2, ∴不等式|2x﹣1|<3的解集为 {x|﹣1<x<2}. 故答案为:{x|﹣1<x<2}. 21.答案:见试题解答内容 解答:由题意得: |m﹣1|≤m,① ∴m≥0, ①式平方得:m2﹣2m+1≥m2, 即:m≥. 故答案为:m≥. 22.答案:见试题解答内容 解答:设A={y|y=f(x)},B={y|y=g(x)}, 则由题意知A?B, 又∵f(x)=|x﹣1|+|x+a|≥|(x﹣1)﹣(x+a)|=|a+1|, 且g(x)=|2x﹣3|+|x﹣1|=, ∴g(x)≥, ∴|a+1|≥, 解得a≤﹣或a≥﹣, ∴实数a的取值范围是a≤﹣或a≥﹣. 故答案为:a≤﹣或a≥﹣. 23.答案:﹣1<a<1或a>. 解答:由已知可得f(3)=3,即解不等式f(a+2)>3, 所以(a+2)|a﹣2|>3, 所以当a<2时,﹣(a+2)(a﹣2)>3,解得﹣1<a<1; 当a≥2时,(a+2)(a﹣2)>3,解得a>. 故答案为:﹣1<a<1或a>. 24.答案:见试题解答内容 解答:∵a、b为正实数, ∴(+)﹣(+)=(﹣)+(﹣)=+ =(a﹣b) =≥0,当且仅当a=b时,取“=”; ∴+≥+. 故答案为:≥. 25.答案:见试题解答内容 解答:A=1+++…+≥++…+===n=B, 则A≥B, 故答案为:A≥B 三.解答题(共12小题) 26.答案:(1)a1=1,a2=3,a3=7,归纳猜测,证明过程见解析; (2). 解答:(1)由Sn=2an﹣n,得S1=2a1﹣1,解得a1=1, S2=a1+a2=2a2﹣2=1+a2=2a2﹣2,解得a2=3, S3=a1+a2+a3=2a3﹣3=4+a3=2a3﹣3,解得a3=7, 归纳猜测. 下面利用数学归纳法证明: ①当n=1时,a1=21﹣1=1,结论成立, ②假设n=k时结论成立,即, 则当n=k+1时,由Sk+1=2ak+1﹣(k+1), 得ak+1=Sk+1﹣Sk=2ak+1﹣(k+1)﹣2ak+k, 即ak+1=2ak+1=2(2k﹣1)+1=2k+1﹣1, ∴当n=k+1时结论成立. 综①②所述,对于任意n∈N*,有; (2)由(1)得,, ∴a1+a3+a5+…+a2n+3=(2+23+…+22n+3)﹣(n+2) ==. 27.答案:见试题解答内容 解答:若a>0,b>0,c>0,则≥(当且仅当a=b=c时取等号). 证明:令x=,y=,z=,则xyz=, ∴x3+y3+z3﹣3xyz=(x+y)3﹣3x2y﹣3xy2+z3﹣3xyz =(x+y)3+z3﹣3x2y﹣3xy2﹣3xyz =(x+y+z)[(x+y)2﹣z(x+y)+z2]﹣3xy(x+y+z) =(x+y+z)(x2+y2+z2+2xy﹣xz﹣yz﹣3xy) =(x+y+z)(2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz) =(x+y+z)[(x﹣y)2+(y﹣z)2+(x﹣z)2]≥0, ∴x3+y3+z3≥3xyz,当且仅当x=y=z时取等号. 即a+b+c≥3,当且仅当a=b=c时取等号. ∴≥. 28.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=, ∴=+≥2,∴ab≥2, 当且仅当a=b=时取等号. ∵a3+b3≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号, ∴a3+b3的最小值为4. (Ⅱ)∵2a+3b≥2=2,当且仅当2a=3b时,取等号. 而由(1)可知,2≥2=4>6, 故不存在a,b,使得2a+3b=6成立. 29.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)依据题意,当S=(﹣1,3)时,C(A,S)取得最大值为2. (Ⅱ)①当0是S中的“元”时,由于A的三个“元”都相等,及B中a,b,c三个“元”的对称性,可以只计算的最大值,其中a2+b2+c2=1. 由(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)≤2(a2+b2+c2)=2, 得 . 当且仅当c=0,且时,a+b达到最大值, 于是. ②当0不是S中的“元”时,计算的最大值, 由于a2+b2+c2=1, 所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3(a2+b2+c2)=3, 当且仅当a=b=c时,等号成立. 即当时,a+b+c取得最大值,此时. 综上所述,C(A,S)的最大值为1. 30.答案:证明见解答. 解答:证明:因为凸n边形A1A2A3…An的面积为1, 所以a1d1+a2d2+…+andn=2, 所以++…+=2(++…+) =(a1d1+a2d2+…+andn)(++…+) ≥(?+?+…+?)2(由柯西不等式可得) =(a1+a2+…+an)2≥(n)2(由均值不等式可得). 31.答案:见试题解答内容 解答:(1)令x=1,则a0=2n,令x=2, 则,∴Sn=3n﹣2n;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分) (2)要比较Sn与(n﹣2)2n+2n2的大小,即比较:3n与(n﹣1)2n+2n2的大小, 当n=1时,3n>(n﹣1)2n+2n2;当n=2,3时,3n<(n﹣1)2n+2n2; 当n=4,5时,3n>(n﹣1)2n+2n2;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分) 猜想:当n≥4时n≥4时,3n>(n﹣1)2n+2n2,下面用数学归纳法证明: 由上述过程可知,n=4n=4时结论成立, 假设当n=k(k≥4)n=k,(k≥4)时结论成立,即3n>(n﹣1)2n+2n2, 两边同乘以3 得:3k+1>3[(k﹣1)2k+2k2]=k2k+1+2(k+1)2+[(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2] 而(k﹣3)2k+4k2﹣4k﹣2=(k﹣3)2k+4(k2﹣k﹣2)+6=(k﹣2)2k+4(k﹣2)(k+1)+6>0∴3k+1>[(k+1)﹣1]2k+1+2(k+1)2 即n=k+1时结论也成立, ∴当n≥4时,3n>(n﹣1)2n+2n2成立. 综上得,当n=1时,3n>(n﹣1)2n+2n2; 当n=2,3时,3n<(n﹣1)2n+2n2;当n≥4,n∈N*时,3n>(n﹣1)2n+2n2﹣﹣(10分) 32.答案:见试题解答内容 解答:消去x,得(8﹣a)y=12, ∴,于是可得. 欲使其解x,y均为正数, 必须, 即必须. ∴a<2. 故当a<2时,方程组的解均为正数. 33.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)原式即|2x+6|+|2x﹣a|≥4恒成立, 即(|2x+6|+|2x﹣a|)min≥4,|2x+6|+|2x﹣a|≥|(2x+6)﹣(2x﹣a)|=|a+6|, ∴|a+6|≥4,解得a≤﹣10或a≥﹣2, ∴a的取值范围为(﹣∞,﹣10]∪[﹣2,+∞). (Ⅱ)∵φ(x)=|x+3|﹣|2x﹣a|﹣2x+1 =有三个零点, 即φ(﹣3)<0且,解得1<a<8. ∴a的取值范围为(1,8). 34.答案:见试题解答内容 解答:(1)f(2x)≤f(x+1),即|4x﹣1|≤|2x+1|, ∴16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1, ∴x2﹣x≤0,∴0≤x≤1, ∴不等式的解集为:{x|0≤x≤1}; (2)∵a﹣2b=2, ∴f(a+1)+f(2b﹣1)=|2a+1|+|4b﹣3| ≥|(2a+1)﹣(4b﹣3)|=|2(a﹣2b)+4|=8, ∴f(a+1)+f(2b﹣1)的最小值为:8. 35.答案:证明见解答. 解答:证明:(Ⅰ)因为a>0,b>0, 所以,(当且仅当a=b=2时取等号). 所以; (Ⅱ)因为a+b=4,所以a+2+b=6, 所以, 当且仅当时取等号. 所以. 36.答案:见试题解答内容 解答:∵x﹣y=(m4﹣m3n)﹣(mn3﹣n4) =(m﹣n)m3﹣n3(m﹣n) =(m﹣n)(m3﹣n3) =(m﹣n)2(m2+mn+n2) =(m﹣n)2[(m+)2+n2] 又m≠n,∴(m﹣n)2>0, ∵[(m+)2+n2]>0 ∴x﹣y>0 故x>y. 37.答案:见试题解答内容 解答:证明:假设函数f(x)=3xex﹣2ax2(x>0)有零点,则f(x)=0在(0,+∞)上有解, 即在(0,+∞)上有解. 设,则. 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上单调递增. ∴, ∴,但这与条件矛盾. 故假设不成立, 即若a<e时,函数f(x)=3xex﹣2ax2(x>0)无零点. _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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  • ID:3-8096087 [精]【2021年高考数学二轮复习】专题八高等数学第1讲几何证明选讲(一)专题复习(含解析)

    高中数学/高考专区/二轮专题

    中小学教育资源及组卷应用平台 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第1讲几何证明选讲(一)大全集练习题 一.选择题(共13小题) 1.如图,A,B,C,D四点共圆,DA⊥DC,∠BAD=∠DAC,M,N在线段AC上,且AM=AB,N是MC的中点.设AC=d,∠DAC=α,则下列结论正确的是(  ) A.|AB|=d?sin2α B.|NC|=d?cos2α C. D.|BD|=d?cosα 2.如图,已知AD∥BE∥CF,下列比例式成立的是(  ) A. B. C. D. 3.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE相交于O,若AO=OD=DF,BE=10cm,则BO的长为(  ) A.cm B.5cm C.cm D.3cm 4.如图,△ABC被一边平行于BC的矩形所截,AB被截成三等份,则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的(  ) A. B. C. D. 5.D是△ABC中AB边上的一点,DE∥BC且交AC于E,EF∥AB且交BC于F,且S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形BFED的面积等于(  ) A.2 B.4 C.5 D.9 6.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,过对角线AC1的一个平面交BB1于E,交DD1于F得四边形AEC1F,则下列结论正确的是(  ) A.四边形AEC1F一定为菱形 B.四边形AEC1F在底面ABCD内的投影不一定是正方形 C.四边形AEC1F所在平面不可能垂直于平面ACC1A1 D.四边形AEC1F不可能为梯形 7.如图,已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于点D(AD>BD),若CD=6,则AD的长为(  ) A.8 B.9 C.10 D.11 8.圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AD=4,CD=3,则BC等于(  ) A.2 B.4 C.2﹣ D.2+ 9.已知四边形ABCD是圆O的内接四边形,∠BAD=60°,CD=2,BC=11,则圆O的半径是(  ) A.6 B.7 C.6 D.7 10.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AD=2,BC=6,若以AB为直径的⊙O与CD相切于点E,则DE等于(  ) A. B. C.4 D.8 11.如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD:DB=9:16,则AB等于(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 12.如图,已知四边形ABCD是圆内接四边形,且∠BCD=120°,AD=2,AB=BC=1,现有以下结论:①B,D两点间的距离为;②AD是该圆的一条直径;③CD=;④四边形ABCD的面积S=.其中正确结论的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.如图,以棱长为1的正方体的顶点A为球心,以为半径做一个球面,则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为(  ) A. B. C. D. 二.填空题(共13小题) 14.如图,已知△ABC的面积为14cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD:DB=BE:EC=2:1,CD与AE交于点P,连接BP,则△APC的面积为   cm2. 15.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC∥EF,E是AB的中点,F是CD的中点,EF交BD于G,交AC于H,若AD=5,BC=8,则GH=   . 16.如图,△ABC中,AD∥BC,连接CD交AB于点E,且AE:EB=1:2,过点E作EF∥BC交AC于点F,若S△ADE=1,则S△AEF=   . 17.在△ABC中,AB=5,AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,DE∥AC交AB于E,那么AE:EB=   . 18.如图,已知A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD,AD.若BE=3,ED=6,则AB的长为   . 19.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若BC边上的高AD=BC,则+的取值范围是   . 20.在梯形ABCD中,AD∥BC∠BAD=135°,以A为圆心,AB为半径,作⊙A交AD、BC于E、F两点,并交BA延长线于G点,则的度数是   . 21.如图所示,在圆内接四边形ABCD中,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,则四边形ABCD的面积为   . 22.已知圆内接△ABC中,D为BC上一点,且△ADC为正三角形,点E为BC的延长线上一点,AE为圆O的切线,则∠BAE的度数为   . 23.如图,圆O的直径AB=4,直线CE和圆O相切于点C,AD⊥CE于D,若∠ABC=30°,则AD的长为   . 24.如图所示,圆O上的弦AB不为直径,DA切圆O于点A,点E在BA的延长线上且DE∥AC,点C为BD与圆交点,若AE=3,DE=6,CD=2,则AD=   . 25.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部分的面积为   cm2. 26.已知球O的内接正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,点P在线段BD1上,过点P垂直于BD1的平面截球O所得的截面圆的面积为,则线段PB的长为   . 三.解答题(共13小题) 27.平面四边形ABCD,点A,B,C均在半径为2的圆上,且. (1)求BC的长; (2)若BD=3,∠DBC=2∠BCD,求△BCD的面积. 28.过点P(1,2)的直线l被两平行线l1:4x+3y+1=0与l2:4x+3y+6=0截得的线段长|AB|=,求直线l的方程. 29.如图,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:AB2=BE?BD﹣AE?AC. 30.如图,已知四边形ABCD中,AD,BC不平行,F,E分别是AB,CD中点. 求证:EF<(AD+BC). 31.如图,四边形ABCD内接于圆O,弧与弧长度相等,过A点的切线交CB的延长线于E点.求证:AB2=BE?CD. 32.如图,ABCD为圆内接四边形,延长两组对边分别交于点E,F.M,N为AB,CD上两点,EM=EN,点F在MN的延长线上.求证:∠BFM=∠AFM. 33.如图,AD是△ABC边BC上的高,DE⊥AB,DF⊥AC (Ⅰ)证明:B,C,F,E四点共圆; (Ⅱ)若AF=5,CF=2,DE=2,求AB的长. 34.如图,圆O是△ABC的外接圆,点D是劣弧的中点,连结AD并延长,与以C为切点的切线交于点P,求证:. 35.如图,已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,求: (1)四边形ABCD的面积; (2)圆O的直径. 36.如图,CD是圆O的切线,切点为D,CA是过圆心O的割线且交圆O于点B,DA=DC.求证:CA=3CB. 37.如图,点A在☉O外,点D在☉O上,射线AO与☉O交于F,G两点,BD是☉O的直径,且∠AOD为锐角.连接AB,交☉O于点C,连接CD,交AO于点E,且OA=,OF=1.设AC=x,AB=y. (1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)若DE=2CE,求证:AD是☉O的切线. 38.如图,圆O的弦AB,MN交于点C,且A为弧MN的中点,点D在弧BM上,若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数. 39.第8题的题干为:如图,已知正方形的边长为1,在正方形ABCD中有两个相切的内切圆. (1)求这两个内切圆的半径之和; (2)当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最小值?当这两个圆的半径为何值时,两圆面积之和有最大值? 变式(1)在第8题中,若正方形改为矩形,情况又如何? (2)在第8题中,若正方形改为正方体,圆改为球,情况如何? 2021年高考数学第二轮复习专题八高等数学第1讲几何证明选讲(一)大全集练习题(含答案) 参考答案与试题解析 一.选择题(共13小题) 1.答案:C 解答:连接BC,如图所示,由题意知AC是圆的直径. 因为∠BAD=∠DAC=α,所以∠BAC=2α. 在Rt△ABC中,|AB|=d?cos2α,故A不正确; ,故B不正确; 因为∠BAD=∠DAC,所以|BD|=|DC|. 又因为AM=AB,由题意知△ADB与△ADM全等,所以|BD|=|DM|,所以|DC|=|DM|. 又因为N是MC的中点,所以DN⊥CM,所以Rt△DNC∽Rt△ADC, 所以,所以,故C正确. 在Rt△ADC中,|DC|=d?sinα.又因为∠BAD=∠DAC,所以|DC|=|BD|,故D不正确. 故选:C. 2.答案:D 解答:证明:∵AD∥BE∥CF, ∴根据平行截割定理,可得 ∴ 故选:D. 3.答案:A 解答:∵AB∥CD∥EF,AF,BE相交于O,AO=OD=DF, ∴由B平行线等分线段定理得:O=OC=CE, ∵BE=10cm,∴BO=BE=cm. 故选:A. 4.答案:A 解答:∵△ABC被一边平行于BC的矩形所截,AB被截成三等份, ∴AE=EF=BF=1,EH∥FG∥BC, ∴EH:FG:BC=1:2:3, 设EH=a,△AEH的高为h,则FG=2a,△AFG的高为2h,BC=3a,△ABC的高为3h, ∴图中阴影部分的面积S=S△AGF﹣S△AEH==, △ABC的面积S△ABC==, ∴图中阴影部分的面积是△ABC的面积的. 故选:A. 5.答案:B 解答:由DE∥BC,EF∥AB,得△ADE∽△EFC, 所以==,即=, 所以==, 所以S△ABC=9, S?BFED=S△ABC﹣S△ADE﹣S△EFC=9﹣1﹣4=4. 故选:B. 6.答案:D 解答:对于A,只有当点E和F分别在BB1和DD1的中点时,四边形为菱形,故错误. 对于B,四边形AEC1F在底面ABCD内的投影一定是正方形,故错误. 对于C,当只有当点E和F分别在BB1和DD1的中点时,四边形AEC1F所在平面垂直于平面ACC1A1. 对于D,由于所截得的平面对边互相平行, 所以四边形AEC1F不可能为梯形. 故选:D. 7.答案:B 解答:∵圆的直径AB=13cm,C为圆上的一点 ∴AC⊥BC. 又CD⊥AB,垂足为D,且CD=6cm, ∴CD2=AD?BD, 即36=AD(13﹣AD), 整理,得AD2﹣13AD+36=0, 解得AD=4,或AD=9. 结合图形得到AD=9. 故选:B. 8.答案:C 解答:如图,因为∠B=90°,所以∠D=90°. 所以AC==5,sin∠1=,cos∠1=. 所以sin∠2=sin(60°﹣∠1)=cos∠1﹣sin∠1=. 所以BC=AC?sin∠2=2﹣. 故选:C. 9.答案:B 解答:四边形ABCD是圆O的内接四边形,∠BAD=60°,CD=2,BC=11, 则:∠DCB=180°﹣60°=120°, 在△BCD中,BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcos∠DCB, 解得:BD=7, 设外接圆的直径为2R, 所以:2R==, 所以:R=7. 故选:B. 10.答案:B 解答:连接OE,过D作DF∥AB,梯形ABCD中,AD∥BC,DC⊥BC,AB为直径的⊙O与DC相切于E,故OE⊥CD,OE是梯形ABCD的中位线,OE=(BC+AD),即AD=2OE﹣BC.OE==4,AB=8, ∵AD∥BC,AB∥DF, ∴四边形ABFD是平行四边形,BF=AD=2,CF=BC﹣BF=6﹣2=4,DF=AB=8,CD===. ∴DE=2. 故选:B. 11.答案:B 解答:因为PD:DB=9:16, 所以设PD=9k(k>0),则PB=25k. 由切割线定理得AP2=PD?PB, 所以32=9k×25k,解得k=.所以PB=5. 由勾股定理得AB===4. 故选:B. 12.答案:C 解答:在①中,∵∠BCD=120°,∴∠A=60°, ∵AD=2,AB=1,∴BD==,故①正确; 在②中,∵AB⊥BD,∴AD是该圆的一条直径,故②正确; 在③中,3=1+CD2﹣2CD?(﹣),∴CD2+CD﹣2=0,∴CD=1,故③不正确; 在④中,由③可得四边形是梯形,高为,四边形ABCD的面积S=,故④正确. 故选:C. 13.答案:C 解答:正方体的表面被该球面被所截得的弧长有相等的三部分, 例如,与上底面截得的弧长,是球的大圆的周长的, 故其弧长为=,所以弧长之和为3×=. 故选:C. 二.填空题(共13小题) 14.答案:4. 解答:过E作EF∥AB,交CD于F, ∵△BCD中,BE:EC=2:1, ∴EF=BD.又∵AD:DB=2:1, ∴BD=AD,∴EF=AD. ∵△APD∽△EPF,得==6. ∴AP=6PE,得AP=AE. ∵△APC与△ACE有相同的高,其面积比等于底边的比, ∴==,∴S△APC=S△ACE, 又∵CE=BC,∴S△ACE=S△ABC=, ∴S△APC=S△ACE=×=4, 即△APC的面积等于4. 故答案是:4. 15.答案:见试题解答内容 解答:梯形ABCD中,AD=5,BC=8,E是AB的中点,F是CD的中点, 故EF是梯形ABCD的中位线, 故EF=(AD+BC)=, ∵AD∥BC∥EF, ∴EG,FH分别是△ABD和△ACD的中位线,故EG=FH=AD=, 故GH=EF﹣EG﹣FH=, 故答案为:. 16.答案:见试题解答内容 解答:∵△ABC中,AD∥BC,连接CD交AB于点E,且AE:EB=1:2, ∴△ADE∽△BCE,∴, ∴=()2=, ∵S△ADE=1,∴S△BCE=4, ∵过点E作EF∥BC交AC于点F, ∴△AEF∽△ABC, ∵=,∴=()2=, ∴=,① ∵EF∥BC∥AD,∴△CEF∽△CAD, ∵=,∴=()2=, ∴=,② 联立①②,得,S△CEF=. 故答案为:. 17.答案:见试题解答内容 解答:在△ABC中,AB=5,AC=6,AD平分∠BAC交BC于D,所以,DE∥AC交AB于E,所以, 可得=. 故答案为:6:5. 18.答案:见试题解答内容 解答:∵A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC, ∴由题意可得AB=BC,∴∠BAC=∠ADB. ∵∠ABE=∠ABD,∴△ABE∽△DBA,∴=. ∵BE=3,ED=6,∴BD=9, ∴AB2=BE?BD=3×9=27, ∴AB=3. 故答案为:3. 19.答案:见试题解答内容 解答:由余弦定理b2+c2=a2+2cosAbc 由面积公式bcsinA=a2, ∴b2+c2=bc(sinA+2cosA) ∴+==sinA+2cosA=sin(A+φ),(tanφ=2) ∵sin(A+φ)≤, ∴+≤, ∵+≥2=2, ∴+的取值范围为[2,] 故答案为:[2,] 20.答案:见试题解答内容 解答:连接AF,如图所示: ∵AD∥BC,∠BAD=135°, ∴∠B+∠BAD=180°, ∴∠B=45°, ∵AF=AB, ∴∠AFB=∠B=45°, ∴∠BAF=180°﹣45°﹣45°=90°, ∴的度数为90°. 故答案为90°. 21.答案:见试题解答内容 解答:∵四边形ABCD圆内接四边形, ∴∠A+∠C=π, ∵连接BD,由余弦定理可得 BD2=AB2+AD2﹣2AB?AD?cosA=36+25﹣2×6×5cosA=61﹣60cosA, 且BD2=CB2+CD2﹣2CB?CD?cos(π﹣A) =9+16+2×3×4cosA=25+24cosA, ∴61﹣60cosA=25+24cosA, ∴cosA= 又0<A<π, ∴sinA=. ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD=AB?AD?sinA+CD?CB?sin(π﹣A) =×6×5×+×3×4×=6, 故答案为:6 22.答案:见试题解答内容 解答:在△EAB与△ECA中, 因为AE为圆O的切线, 所以∠EBA=∠EAC 因为∠E公用, 所以∠EAB=∠ECA, 因为△ADC为正三角形, 所以∠BAE=∠ECA=120°. 故答案为:120°. 23.答案:见试题解答内容 解答:圆O的直径AB=4, 若∠ABC=30°,则AC=2, 若直线CE和圆O相切于点C,AD⊥CE于D, 则∠ACD=30°, ∴AD=1, 故答案为:1. 24.答案:见试题解答内容 解答:∵DA切圆O于点A,∴∠DAC=∠B. ∵DE∥AC,∴∠DAC=∠ADE. ∴∠ADE=∠B. 又∠AED公用, ∴△ADE∽△DBE. ∴,即=,解得AB=9. 由DE∥AC,∴=,∴,解得BC=6. ∵DA切圆O于点A,∴AD2=DC?DB=2×(2+6)=16, 解得AD=4. 故答案为:4. 25.答案:π+4. 解答: 作AM垂直于EF,交OH、DG于S、N,垂足为M,过点O作OQ垂直于DQ,垂足为Q, ∵A到直线DE和EF的距离均为7cm,∴EM=AM=7, 又∵EF=12,MN=DE=2, ∴NG=MF=12﹣7=5,AN=AM﹣NM=7﹣2=5, ∴∠AGD=45°,∵BH∥DG,∴∠AHO=45°, 由于AG是圆弧的切线, ∴AG⊥OA,∠AOH=∠ACN=45°, 设大圆的半径为R,则AS=OS=, OQ=SN=5﹣,DQ=DN﹣QN=7﹣, ∵tan∠ODC=,∴=,解得R=2, 图中阴影部分面积分为扇形AOB和直角△AOH的面积减去小半圆的面积, 所以S阴影=×π×(2)2+×2×2﹣×π×1=π+4. 故答案为:π+4. 26.答案:见试题解答内容 解答:如图所示,由题意可知BD1是球的直径,P是截面圆的圆心,设O为球心,M为截面圆上任一点, 可知则OM=R,由已知得,∴, 设截面圆的半径为r,则,∴.∴. ∴,或. 故答案为:. 三.解答题(共13小题) 27.答案:见试题解答内容 解答:(1)由题意得△ABC外接圆半径R=2,, 由正弦定理得BC=2Rsin∠BAC=4×=2, 故BC的长为2. (2)在△BCD中,∵∠DBC=2∠BCD, ∴sin∠DBC=sin2∠BCD=2sin∠BCDcos∠BCD, 则由正弦定理,得CD=2BD?cos∠BCD, 由余弦定理,得cos∠BCD=, ∴CD=,又BC=2,BD=3, 解得CD2=15, 由余弦定理,得cos∠CBD===﹣, ∴sin∠CBD==. ∴△BCD的面积S△BCD==. 28.答案:见试题解答内容 解答:当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,经验证|AB|=,不符合题意 故可设直线l的方程为y﹣2=k(x﹣1),与l1:4x+3y+1=0联解,得A(,) 同理,可得直线l与l2:4x+3y+6=0交于点B(,) ∵|AB|=, ∴=, 整理得7k2﹣48k﹣7=0,解之得k=7或﹣ ∴直线l的方程为y﹣2=7(x﹣1)或y﹣2=﹣(x﹣1), 化简整理得,所求直线l的方程为7x﹣y﹣5=0或x+7y﹣15=0. 29.答案:见试题解答内容 解答:证明:如图所示,连接AD,BC. ∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°. ∵EF⊥FB,∴∠EFB=90°=∠ADB, ∴四点A、D、E、F共圆, ∴BD?BE=AB?BF=AB?(AB+AF)=AB2+AB?AF. 又△EFA与△BCA中,∴∠EAFB=∠BAC, ∠EFA=∠BCA. ∴△EFA∽△BCA. ∴=,∴AB?AF=AE?AC. ∴AB2=BE?BD﹣AE?AC. 30.答案:见试题解答内容 解答:证明:如图,连接BD,作EG∥BC交BD于G,连接GF. ∵E为CD的中点,∴G为BD的中点. ∴EG为△DBC的中位线,∴EG=BC. 易知,FG为△BAD的中位线,∴GF=AD. 又△EFG中,由两边之和大于第三边, 知EF<EG+GF=BC+AD, ∴EF<(AD+BC). 31.答案:见试题解答内容 解答:证明:连结AC.…………………………………………………(1分) 因为EA切圆O于A,所以∠EAB=∠ACB. …………(3分) 因为弧AB 与弧AD长度相等,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD. 于是∠EAB=∠ACD. …………………………………(5分) 又四边形ABCD内接于圆O,所以∠ABE=∠D. 所以△ABE∽△CDA. 于是=,即AB?DA=BE?CD.………………(9分) 所以AB2=BE?CD.…………………………………(10分) 32.答案:见试题解答内容 解答:证明:∵EM=EN,∴∠EMN=∠ENM, ∵ABCD是圆内接四边形,∴∠FCN=∠A, ∵∠EMN=∠AFM+∠A,∠ENM=∠BFM+∠FCN, ∴∠BFM=∠AFM. 33.答案:见试题解答内容 解答:(Ⅰ)证明:连接EF,由已知A,E,D,F四点共圆, ∴∠FAD=∠FED. ∵∠C+∠FAD=∠AEF+∠FED=90°, ∴∠C=∠AEF, 则B,C,E,F四点共圆. (Ⅱ) 解:∵直角三角形ADC中,DF⊥AC, ∴由射影定理得:AD2=AF×AC=5×7=35. 直角三角形AED中,, 直角三角形ADB中,DE⊥AB,由射影定理得:AE×AB=AD2, ∴. 34.答案:见试题解答内容 解答:证明:连结CD,因为CP为圆O的切线, 所以∠PCD=∠PAC, 又∠P是公共角,所以△PCD~△PAC, 所以, 因为点D是劣弧BC的中点,所以CD=BD,即. 35.答案:见试题解答内容 解答:(1)连接AC,AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB =22+62﹣2×2×6?cosB =40﹣24cosB 又AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cosD =42+42﹣2×4×4?cosD =32﹣32cosD =32+32cosB ∴40﹣24cosB=32+32cosB ∴56cosB=8 ∴ ∴ (2), ∴, 所以直径=, 即圆O的直径是. 36.答案:见试题解答内容 解答:证明:连接OD, 因为DA=DC,所以∠DAO=∠C. 在圆O中,AO=DO,所以∠DAO=∠ADO, 所以∠DOC=2∠DAO=2∠C. 因为CD为圆O的切线,所以∠ODC=90°, 从而∠DOC+∠C=90°,即2∠C+∠C=90°, 故∠C=30°,所以OC=2OD=2OB, 所以CB=OB,所以CA=3CB. 37.答案:见试题解答内容 解答:(1)∵点A在☉O外,点D在☉O上,射线AO与☉O交于F,G两点,BD是☉O的直径,且∠AOD为锐角. 连接AB,交☉O于点C,连接CD,交AO于点E,且OA=,OF=1.设AC=x,AB=y. ∴由切割线定理得:AC?AB=AF?AG, ∴xy=(AO﹣OF)(AO+OG)=(﹣1)×(+1)=4. 又当∠AOD=90°时,AB=,∴AC==,∴﹣1<x<. ∴y=. 证明:(2)作OK⊥AB于点K,则CK=BK=BC=,AK=AB﹣BK=. ∵DE=2CE,∴CE=CD. ∵∠DCB=90°,OK⊥CB,∴DC∥OK. ∵OD=OB,∴OK=CD,∴==,∴=,得y=2x. 与y=联立,得x=,y=2,∴AB=2,AC=BC=. ∴C是AB的中点,DC=. ∴DC=AB,即∠ADB=90°,∴AD是☉O的切线. 38.答案:见试题解答内容 解答:连结AN,DN. 因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN. 而∠NAB=∠NDB, 所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB, 即∠BCN=∠ADB. 又因为∠ACN=3∠ADB, 所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°, 故∠ADB=45°. 39.答案:见试题解答内容 解答:(1)由图知∠CEO1=90°,CE=O1E=R1 ∴2R12=CO12,CO1=. 同理AO2=. ∴AC=AO2+O2O1+O1C =(R1+R2)+(R1+R2) =(R1+R2), 又∵AB=1,∴AC= ∴(R1+R2)=, ∴R1+R2=; (2)两圆面积之和S=πR12+πR22 = = =. ∴当R1=,即R1=R2时S为最小. 因R1的最大值为R1=,这时R2为最小值,其值为R2=; 又当R2=时,R1有最小值R1=, 故当R1=(此时R2=)或R1=(此时R2=)时,S有最大值. 变式解:(1)如图,ABCD为矩形. 设AB=a,AD=b 作直角△O1O2G则有 (R1+R2)2=[b﹣(R1+R2)]2+[a﹣(R1+R2)]2 解之,得R1+R2=(a+b) 但∵a+b>R1+R2;, ∴R1+R2=(a+b) (2)因两圆面积之和S=πR12+πR22 =. ∴当,即R1=R2时,S有最小值. 当R1或R2=min(a,b)时,S有最大值. 如图,球O1和球O2外切, 球O1和以C1为顶的三面角的三个面相切, 球O2和以A为顶的三面角的三个面相切(设棱长为1) 同前类似可计算出AO2=R2,C1O1=R1,R1+R2=. 两球的体积和V= = = = = =. ∴当,即R1=R2时,V有最小值. 当,或,时,V有最大值 注:在(1)中的a,b必须限制为b<a≤2b,否则在矩形内之二圆无法相切. _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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