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学校教师招聘信息

  • ID:3-6792073 四川省巴中市2020届高三第一次诊断性考试数学理试题(PDF版)

    高中数学/高考专区/模拟试题


    四川省巴中市2020届高三第一次诊断性考试数学理试题(PDF版)
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    压缩包内容:
    2020年巴中市一诊理数试题 20200113.pdf
    四川省巴中市2020届高三第一次诊断性考试数学理试题(PDF版).pdf

  • ID:3-6792072 四川省巴中市2020届高三第一次诊断性考试数学文试题(PDF版)

    高中数学/高考专区/模拟试题


    四川省巴中市2020届高三第一次诊断性考试数学文试题(PDF版)
    ================================================
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    2020年巴中市一诊文数试题 20200113.pdf
    四川省巴中市2020届高三第一次诊断性考试数学文试题(PDF版).pdf

  • ID:3-6792066 江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案

    高中数学/高考专区/模拟试题


    南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考
    数学试卷2020.1.14
    一、填空题
    1.已知集合 A= ((1,0,2(, B= {(1,1,2}, 则 A∩B =________.
    2.已知复数 z 满足(1( i( z = 2i , 其中i 是虚数单位,则 z 的模为_______.
    3.某校高三数学组有 5名党员教师,他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35,35,41,38,51,则这5 名党员教师学习积分的平均值为_______.
    4.根据如图所示的伪代码,输出的 a 的值为_______.
    
    5.已知等差数列(an( 的公差 d 不为 0 ,且 a1,a2,a4 成等比数列,则的值为_____.
    6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次,则恰好出现 2 次正面向上的概率为______.
    7.在正三棱柱 ABC ( A1B1C1 中, AA1=AB=2 ,则三枝锥 A1 ( BB1C1 的体积为______.
    8.已如函数.若当 x =时,函数 f (x( 取得最大值,则( 的最小值为______.
    9. 已 知 函 数 f (x( = (m ( 2(x2 ( (m ( 8(x (m (R ( 是 奇 函 数 . 若 对 于 任 意 的 x ( R , 关 于 x 的 不 等 式f ( x 2 (1( ( f (a ( 恒成立,则实数 a 的取值范围是______.
    10.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A,B 分别在双曲线C : x2 ( y 2 =1 的两条渐近线上, 且双曲线C 经过线段 AB的中点.若点 A 的横坐标为 2 ,则点 B 的横坐标为______.
    11.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级 M 之间的关系为 lgE = 4.8 (1.5M . 2008 年 5 月汶川发生里氏8.0 级地震,它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的______倍.
    12. 已知△ABC 的面积为 3 ,且 AB = AC .若,则 BD 的最小值为______.
    13.在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆C1 : x2 ( y 2 = 8 与圆C2 : x2 ( y 2 ( 2x ( y (a = 0 相交于 A,B 两点.若圆C1 上存在点 P ,使得△ABP 为等腰直角三角形,则实数 a 的值组成的集合为______.
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    压缩包内容:
    江苏省南通、泰州市2020届高三第一次调研测试数学试题含附加题 Word版含答案.doc
    江苏省南通市、泰州市2020届高三上学期期末联考数学学科参考答案).pdf

  • ID:3-6792060 新疆乌鲁木齐市2020届高三第一次诊断性测试数学文试题 Word版含答案

    高中数学/高考专区/模拟试题


    2020年高三年级第一次诊断性测试
    文科数学
    (卷面分值:150分 考试时间:120分钟)
    选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    设集合,,则
         
    若复数满足(其中为虚数单位),则
         
    已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是
    若,则  若,则
    若,且,则
     若,且,则
    设,,,则有
         
    已知向量,且,则
         
    已知双曲线()的左、右焦点分别为,为虚轴的一个端点,且,则双曲线的离心率为
         
    执行如右图所示的程序框图,则输出的
         
    
    从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字,则它们之和为偶数的概率为
         
    等比数列的前n项和为,且成等差数列,若,则
         
    将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,则下列关于说法正确的是
    最大值为1,图象关于直线对称  在上单调递减,为奇函数  在上单调递增,为偶函数 周期是,图象关于点对称
    已知抛物线C:的焦点F到准线的距离为2,点P在抛物线上,且,延长PF交C于点Q,则△OPQ的面积为
         
    已知函数,若对任意,都有,则实数的取值范围是
         
    第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
    填空题:本大题共4个小题,每小题5分
    若实数满足约束条件,则的最大值为_______
    已知,为锐角,则_______
    已知数列满足:(),若,则____
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    新疆乌鲁木齐市2020届高三第一次诊断性测试数学文试题 word版含答案.doc

  • ID:3-6792057 新疆乌鲁木齐市2020届高三第一次诊断性测试数学理试题 Word版含答案

    高中数学/高考专区/模拟试题


    2020年高三年级第一次诊断性测试理科数学
    (卷面分值:150分 考试时间:120分钟)
    选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
    第Ⅰ卷(选择题 共60分)
    1、设集合,,则
         
    2、若复数满足(其中为虚数单位),则
         
    3、已知是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列命题正确的是
    若,则  若,则
    若,且,则
     若,且,则
    4、设,,,则有
         
    5、已知向量满足,且与的夹角为,则
         
    6、已知双曲线()的左、右焦点分别为,为虚轴的一个端点,且,则双曲线的离心率为
         
    7、执行如右图所示的程序框图,则输出的
         
    
    8、从1,2,3,4,5这五个数字中随机选择两个不同的数字,则它们之和为偶数的概率为
         
    9、等比数列的前n项和为,且成等差数列,若,则
         
    10、将奇函数()的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则下列关于的一个单调递减区间是
         
    11、已知抛物线C:的焦点F,点是抛物线上一点,以M为圆心的圆与直线交于A、B两点(A在B的上方),若,则抛物线C的方程为
         
    12、已知函数,若对任意,都有,则实数的取值范围是
         
    第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
    填空题:本大题共4个小题,每小题5分
    13、若实数满足约束条件,则的最大值为_______
    14、已知,为锐角,则_______
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    新疆乌鲁木齐市2020届高三第一次诊断性测试数学理试题 word版含答案.doc

  • ID:3-6792055 广东省化州市2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

    高中数学/高考专区/模拟试题


    化州市2020年高考第二次模拟考试
    理科数学
    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
    1.设全集U=R,集合A={﹣1,0,1,2},B={x|log2x<1},则A∩(?UB)=(  )
    A.{1,2} B.{﹣1,0,2} C.{2} D.{﹣1,0}
    2.设复数,则f(z)=(  )
    A.i B.﹣i C.﹣1+i D.1+i
    3.“?x∈R,x2﹣bx+1>0成立”是“b∈[0,1]”的(  )
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
    C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
    4.已知函数的最小正周期为4π,则(  )
    A.函数f(x)的图象关于原点对称
    B.函数f(x)的图象关于直线对称
    C.函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称
    D.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增
    5.当实数x、y满足不等式组时,恒有ax+y≤3成立,则实数a的取值范围为(  )
    A.a≤0 B.a≥0 C.0≤a≤2 D.a≤3
    6.函数f(x)=a(a>1)的部分图象大致是(  )
    7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”.某中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛.现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐.规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为a,b,c(a>b>c,且a,b,c∈N*);选手最后得分为各场得分之和.在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列说法正确的是(  )
    A.每场比赛第一名得分a为4
    B.甲可能有一场比赛获得第二名
    C.乙有四场比赛获得第三名
    D.丙可能有一场比赛获得第一名
    8.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是(  )
    
    A.8 B. C.4 D.
    9.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,2cosC,则
    c=(  )
    A.2 B.4 C.2 D.3
    10.双曲线C:1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(  )
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    压缩包内容:
    广东省化州市2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题 word版含答案.doc

  • ID:3-6792042 安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测文科数学试题(word版)

    高中数学/高考专区/模拟试题


    2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测
    文科数学试题
    一、选择题:本题共12个题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.已知集合,,则(▲)
    A. B. C. D.
    2.已知复数z满足,则(▲)
    A. B. C. D.
    3.已知非零向量满足,且,则与的夹角为(▲)
    A. B. C. D.
    4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少(▲)里.
    A. B. C. D.
    5.现有甲、乙、丙、丁名学生平均分成两个小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为(▲)
    A. B. C. D.
    6.已知函数,满足,且在内恰有一个最大值点和一个最小值点,则的值为(▲)
    A. B. C. D.
    7.已知双曲线的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,若,,则此双曲线渐近线方程为(▲)
    A. B. C. D.
    8.某几何体三视图如图所示,其体积为,则该几何体的
    外接球体积为(▲)
    A.
    B.
    C.
    D.
    9.已知等差数列,,数列满足,则 (▲)
    A. B. C. D.
    10.已知是偶函数,当时,,若,则的取值范围是(▲)
    A. B.
    C. D.
    11.已知椭圆的左顶点和左焦点分别为和,,直线交椭圆于两点(在第一象限),若线段的中点在直线上,则该椭圆的方程为(▲)
    A. B.  
     C. D.
    12.已知,当时,在上(▲)
    A.有最大值没有最小值 B.有最小值没有最大值
    C.既有最大值也有最小值 D.既无最大值也无最小值
    ================================================
    压缩包内容:
    安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测文科数学试题.doc

  • ID:3-6792040 安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题(word版)

    高中数学/高考专区/模拟试题


    2020年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测
    理科数学试题
    一、选择题:本大题共12个题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.设全集,,则
    A. B. C. D.
    2.复数的虚部为
    A. B. C. D.
    3.下图是国家统计局给出的2014年至2018年我国城乡就业人员数量的统计图表,结合这张图表,以下说法错误的是
    A.2017年就业人员数量是最多的
    B.2017年至2018年就业人员数量呈递减状态
    C.2016年至2017年就业人员数量与前两年比较,增加速度减缓
    D.2018年就业人员数量比2014年就业人员数量增长超过400万人
    4.数列为等差数列,且,则的前13项的和为
    A. B.  C. D.
    5.已知向量,,且,则
    A. B. C. D.
    6.已知奇函数,则的值为
    A. B. C. D.
    7.已知点是抛物线的焦点,过点的直线交抛物线于点,交轴于点,若,则点的坐标为
    A. B. C. D.
    8.西湖小学为了丰富学生的课余生活开设课后少年宫活动,其中面向二年级的学生共开设了三门课外活动课:七巧板、健美操、剪纸.203班有包括奔奔、果果在内的5位同学报名参加了少年宫活动,每位同学只能挑选一门课外活动课,已知每门课都有人选,则奔奔和果果选择了同一个课外活动课的选课方法种数为
    A.18 B.36 C.72 D.144
    9.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为
    A.
    B.
    C.
    D.
    10.函数的图像大致为
    
    11.已知边长为2的正所在平面外有一点,,当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为
    A. B.  C. D.
    12.已知函数()的图象经过点和,且在内不单调,则的最小值为
    A.1 B.3 C.5 D.7
    二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.曲线在点处的切线方程为 ▲ .
    14.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最大值为 ▲ .
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    压缩包内容:
    安徽省马鞍山市2020届高三毕业生第一次教学质量监测理科数学试题.doc

  • ID:3-6789813 2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查数学试卷(文科)(word版)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    2020届宁德市普通高中毕业班第一次质量检查试卷 文 科 数 学 本试卷共5页,满分150分. 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,则= A. B. C. D. 2.已知复数,其中是虚数单位,则 A. B. C. D. 3.已知双曲线的焦距为,则其焦点到渐近线的距离为 A. 8 B. 6 C. D. 4 4.设向量满足,则 A. B. C. D. 5.2021年起,福建省高考将实行“3+1+2”新高考。“3”是统一高考的语文、数学和英语三门;“1”是选择性考试科目,由考生在物理、历史两门中选一门;“2”也是选择性考试科目,由考生从化学、生物、地理、政治四门中选择两门,则某考生自主选择的“1+2”三门选择性考试科目中,历史和政治均被选择到的概率是 A. B. C. D. 6.已知公比为的等比数列的前项和为,等差数列的前项和为,若有,则 A. B. C. D. 7.若实数满足,则的大小关系是 A. B. C. D. 8.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目:“一 百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大、小和尚各 几丁?”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法,执行右图的程 序框图,则输出 A.20 B.30 C.75 D.80 9.将函数的图象向左平移个单位长度后, 所得的图象与原图象有相同的对称中心,则正实数的最小值是 A. B. C. D. 10.某长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的表面积为 A.16 B. C. D. 11.已知为椭圆的左、右焦点,椭圆上一点到上顶点和坐标原点的距离相等,且的内切圆半径为,则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 12.已知函数下列关于函数的零点个数判断正确的是 A.当时,至少有2个零点 B.当时,至多有9个零点 C.当时,至少有4个零点 D.当时,至多有4个零点 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知函数在点处的切线方程为 . 14.若变量满足约束条件则的最大值是 . 15.在边长为2的菱形中,,以为折痕将折起,使点到达点的位置,且点在面内的正投影为的重心,则的外接球的球心到点的距离为 . 16.若正项数列满足,则称数列为D型数列,以下4个正项数列满足的递推关系分别为: ① ② ③ ④ 则D型数列的序号为 . 三、解答题:共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分. 17.(12分) 的内角的对边分别为,已知,. (1)求角C; (2)延长线段到点D,使,求周长的取值范围. 18.(12分) 如图,矩形平面,且,分别为的中点. (1)证明:平面; (2)求几何体的体积. 19.(12分) 某公司为了促进某产品的销售,随机调查了该产品的月销售单价x(单位:元/件)及相应月销量y(单位:万件),对近5个月的月销售单价和月销售量的数据进行了统计,得到如下数表: 月销售单价(元/件) 8 8.5 9 9.5 10 月销售量(万件) 11 10 8 6 5 (1)建立关于的回归直线方程; (2)该公司年底开展促销活动,当月销售单价为7元/件时,其月销售量达到14.8万件,若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件,则认为所得到的回归直线方程是理想的,试问(1)中得到的回归直线方程是否理想? (3)根据(1)的结果,若该产品成本是5元/件,月销售单价为何值时,公司月利润的预报值最大? (注:利润=销售收入-成本). 参考公式:回归直线方程,其中, 参考数据:, (12分) 已知抛物线的焦点为,在抛物线上,且. (1)求抛物线的方程及的值; (2)若过点的直线与相交于两点,为的中点,是坐标原点,且,求直线的方程. (12分) 已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)已知且,若函数没有零点,求证:. 选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目计分. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 在平面直角坐标系中,圆,以坐标原点为极点,轴正半 轴为极轴,直线的极坐标方程为,直线交圆于两点,为中点. (1)求点轨迹的极坐标方程; (2)若,求的值. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知在上恒成立. (1)求的最大值; (2)若均为正数,且,求的取值范围. 宁德市2019—2020学年度第一学期高三期末质量检测 数学(文科)试题参考答案及评分标准 说明: 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,给出一种或几种解法供参考.如果考生的解法与给出的解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则. 2.对解答题,当考生的解答在某一步出现错误,但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误,则错误部分依细则扣分,并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.解答题只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. A 8. C 9. C 10. D 11. B 12. B 二、填空题 :本题考查基础知识和基本运算.本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13. 14. 15. 16.②③④ 三、解答题:本大题 共6小题,共70分. 17.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和差公式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. 解法一:(1)根据余弦定理得 整理得,………………………………………………………3分 , , ……………………………………………………………………………5分 (2)依题意得为等边三角形,所以的周长等于 ………………………………………………………………6分 由正弦定理, 所以, …………………………………………………………8分 ………………………………………………………10分 ,, , ,……………………………………………………………11分 所以的周长的取值范围是.………………………………12分 解法二:(1)根据正弦定理得 ……………………………………………………2分 ,………3分 , , ,…………………………………………………………………4分 , ……………………………………………………………………………5分 (2)同解法一. 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系,几何体的体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分12分. 解法一:(1)证明:取中点,连接……………………………………1分 ∵分别为的中点, ∴为的中位线 ∴且 ……………………2分 ∵为矩形,为的中点 ∴且……………………3分 ∴四边形为平行四边形 ∴………………………………4分 ,……………………………………………………5分 ∴平面…………………………………………………………………6分 (2)过作于………………………………………………………………7分 ∵平面平面, 平面平面, 又平面 ∴平面……………………………………9分 在中, ∵且 ∴ …………………………………………………………………10分 ……………………………………………………………11分 ………………………………………………12分 解法二:(1)取中点,连接………………………………………………1分 在中,为中位线, ∴……………………………………2分 ∵平面,平面 ∴平面………………………………3分 同理,,∴ ∵平面,平面 ∴平面………………………4分 又 ∴平面平面……………5分 ∵平面 ∴平面…………………………………………………………………6分 (2)∵平面平面, 平面平面, 又 ∴平面 ∴………………………………………………7分 ∵且为的中点 ∴…………………………………………8分 ∵,, 则平面 即平面…………………………9分 ∵平面, ∴到平面的距离 在中, ∵且 ∴……………………………………………………………………10分 ……………………………………………………………11分 ∴……………………………………………12分 19. 本小题主要考查了回归直线方程,函数等基础知识,考查数据分析能力、运算求解能力, 考查化归与转化思想等.满分12分. 解:(1)因为,……………………………………………1分 …………………………………………………………2分 所以,则,……………………4分 于是关于的回归直线方程为; ………………………………5分 (2)当时,,则, ……………………………………………………7分 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的;…………………………………8分 (3)令销售利润为M,则………………………9分 ……………………………………10分 所以时,取最大值.………………………………………………………11分 所以该新产品单价定为元公司才能获得最大利润.……………………………12分 20. 本小题主要考查直线、抛物线,直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解:(1),………………………………………………………1分 …………………………………………………………………………………2分 抛物线的方程为:.………………………………………………………3分 将代入得……………………………………………………4分 (2)设, 显然直线的斜率存在,设直线:,………………………………5分 联立,消去得,……………………………………6分 ,得且, ,……………………………………………………………7分 , ,即,…………………………8分 是的中点,,………………………………………………………9分 ,整理得,………………………10分 ,解得,………………………………………………11分 直线的方程为:或……………………………………………12分 21.本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.满分12分. 解法一:(1) ………………………………………………………………1分 当时,令得或; 令得. ∴函数的单调递增区间为和, 单调递减区间为.……………………………………………………………3分 当时,令得; 令得或. ∴函数的单调递增区间为, 单调递减区间为和.………………………………………………5分 综上所述,当时,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为和. (2)函数在时无零点,即在无解 则与在无交点……………………………………………………6分 ,在上单调递增 ,∴ 则………………………………………………………………………………………7分 由(1)得在上单调递增 ……………………………………………………………………8分 要证 即证 即证 即证 …………………………………………………………………9分 令 在时单调递增,………………………………………………………11分 所以原不等式成立.…………………………………………………………………………12分 解法二:(1)同解法一 (2)函数在时无零点,即在无解 则与在无交点……………………………………………………6分 ,在上单调递增 ,∴ 则………………………………………………………………………………………7分 要证, 即证, 即证,………………………………………………………………………8分 因为, 所以只需证 , 即证 ,………………………………………………………………………9分 令 ,………………………………………………………………10分 在时单调递增,………………………………………………………11分 , 所以原不等式成立.…………………………………………………………………………12分 22.选修;坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查 数形结合思想、化归与转化思想等.满分10分. 解法一:(1)圆的极坐标方程为,………………………1分 将代入得: , 成立, 设点对应的极径分别为, 所以,……………………………………………………………3分 所以,…………………………………………………………4分 所以点轨迹的极坐标方程为,.…………………………5分 (2)由(1)得,……………6分 ,……………………………………………………………7分 所以,,………………………………8分 又,所以或,……………………………………………………9分 即或…………………………………………………………………………10分 解法二: (1)因为为中点, 所以于,…………………………………………………………………………1分 故的轨迹是以为直径的圆(在的内部),………………………………………2分 其所在圆方程为:,………………………………………………3分 即. 从而点轨迹的极坐标方程为,.……………………………5分 (2)由(1)得,………………6分 ,……………………………………………………………7分 令,因为,所以, 则, 所以,所以,………………………………………………8分 即,解得(舍去), 所以, 又,, 所以或,……………………………………………………………………9分 即或.………………………………………………………………………10分 23.选修:不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分10分. 解:(1)构造, 在上恒成立, ,…………………………………………………………………………1分 又,………………………………………………………………3分 ,,……………………………………………………………………4分 的最大值.………………………………………………………………………5分 (2)由(1)得,故. , , 或.……………………………………………………………………6分 故.……………………………………………7分 当时,, , 当且仅当,即时取“=”;…………………………………8分 当时,, , 当且仅当,即时取“=”.…………………………………9分 所以的取值范围是.………………………………10分 高三数学(文科)试卷 共5页 第5页

  • ID:3-6788556 2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷(理科)[PDF解析版]

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷(理科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|(x+2)(x﹣3)<0},B={x|y= },则 A∩(?RB)=( ) A.[﹣2,1) B.[1,3] C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣2,1) 2.已知 =(5,﹣1), =(3,2), 对应的复数为 z,则 =( ) A.5﹣i B.3+2i C.﹣2+3i D.﹣2﹣3i 3.(2x﹣y)5的展开式中,含 x3y2的系数为( ) A.80 B.﹣80 C.40 D.﹣40 4.在一次期末考试中,随机抽取 200名学生的成绩,成绩全部在 50分至 100分之间,将成 绩按如下方式分成 5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100).据此绘 制了如图所示的频率分布直方图.则这 200名学生中成绩在[80,90)中的学生有( ) A.30名 B.40名 C.50名 D.60名 5.函数 f(x)= 的零点之和为( ) A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2 6.我市高中数学研究会准备从会员中选拔 x名男生,y名女生组成﹣个小组去参加数学文 化知识竞赛,若 x,y满足约束条件 ,则该小组最多选拔学生( ) A.21名 B.16名 C.13名 D.11名 7.设 m=﹣log0.30.6,n= ,则( ) A.m+n<mn<0 B.mn<0<m+n C.m+n<0<mn D.mn<m+n<0 8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添 一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框 图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 的酒量”即输出值是输入值的 , 则输入的 x=( ) A. B. C. D. 9.已知单位向量 , 分別与平面直角坐标系 x,y轴的正方向同向,且向量 =3 ﹣ , =2 +6 ,则平面四边形 ABCD的面积为( ) A. B. C.10 D.20 10.函数 f(x)=x?ln 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. 11.已知函数 f(x)= ,令函数 ,若函数 g(x)有 两个不同零点,则实数 a的取值范围是( ) A. B.(﹣∞,0) C. D. 12.如图,已知函数 ,A1,A2,A3是图象的顶点,O,B,C,D为 f (x)与 x轴的交点,线段 A3D上有五个不同的点 Q1,Q2,…,Q5,记 (i =1,2,…,5),则 n1+n2+…+n5的值为( ) A. B.45 C. D. 二、填空题:本大题共 4小题;每小题 5分,共 20分. 13.(5分)命题“?x∈R,f(x)≤x”的否定形式是 . 14.(5分)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C的坐标为(0,4),(2, 0),(6,4),则 f(f(0))= ;函数 f(x)在 x=1处导数 f′(1)= . 15.(5分)如图,在单位圆中,7S△PON=2 ,△MON为等边三角形,M、N分别在单位 圆的第一、二象限内运动,则 sin∠POM= . 16.(5分)已知△ABC中,角 A,B,C对应的边分别为 a,b,c,且 BC边上的高为 a,则 的取值范围为 . 三、解答题:本大题共 5小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.(12分)已知{an}是递增的等差数列,且满足 a2+a4=20,a1?a5=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n项和 Tn的最小值. 18.(12分)在△ABC中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且满足 . (1)求角 C; (2)设 D为边 AB的中点,△ABC的面积为 ,求边 CD的最小值. 19.(12分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中,侧面 ABB1A1是菱形,D为 AB的中点,△ ABC为等腰直角三角形,∠ACB= ,∠ABB1= ,且 AB=B1C. (1)求证:CD⊥平面 ABB1A1; (2)求 CD与平面 BCC1B1所成角的正弦值. 20.(12分)某校为了解学生一周的课外阅读情况,随机抽取了 100名学生对其进行调查.下 面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,且将一 周课外阅读时间不低于 200分钟的学生称为“阅读爱好”,低于 200分钟的学生称为“非 阅读爱好”. (1)根据已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此判断是否有 97.5%的把握认为“阅读 爱好”与性别有关? 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 50 女 14 合计 (2)将频率视为概率,从该校学生中用随机抽样的方法抽取 4人,记被抽取的四人中“阅 读爱好”的人数为ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列和数学期望 Eξ. 附: P(K2≥k0) 0.01 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ,n=a+b+c+d. 21.(12分)已知函数 f(x)=eax+b(a,b∈R)的图象与直线 l:y=x+1 相切,f'(x)是 f (x)的导函数,且 f'(1)=e. (1)求 f(x); (2)函数 g(x)的图象与曲线 y=kf(x)(k∈R)关于 y轴对称,若直线 l与函数 g(x) 的图象有两个不同的交点 A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)),求证:x1+x2<﹣4. 请考生在第 22-23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐 标系与参数方程] 22 .( 10 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ,以坐标原点 O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 C2的极坐标方程为ρ=4cosθ. (1)求曲线 C1与曲线 C2两交点所在直线的极坐标方程; (2)若直线 l的极坐标方程为 ,直线 l与 y轴的交点为 M,与曲 线 C1相交于 A,B两点,求|MA|+|MB|的值. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知 x,y,z均为正数. (1)若 xy<1,证明:|x+z|? |y+z|>4xyz; (2)若 = ,求 2xy? 2yz? 2xz的最小值. 2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分.在每小题给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合 A={x|(x+2)(x﹣3)<0},B={x|y= },则 A∩(?RB)=( ) A.[﹣2,1) B.[1,3] C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣2,1) 【分析】可以求出集合 A,B,然后进行交集、补集的运算即可. 【解答】解:∵A={x|﹣2<x<3},B={x|x≥1}, ∴?RB={x|x<1},A∩(?RB)=(﹣2,1). 故选:D. 【点评】本题考查了描述法、区间的定义,一元二次不等式的解法,交集和补集的运算, 考查了计算能力,属于基础题. 2.(5分)已知 =(5,﹣1), =(3,2), 对应的复数为 z,则 =( ) A.5﹣i B.3+2i C.﹣2+3i D.﹣2﹣3i 【分析】根据向量的线性表示求出 ,即可求解 z,进而可求. 【解答】解:∵ =(5,﹣1), =(3,2), ∴ =﹣( ﹣ )=(﹣2,3),对应的复数为 z=﹣2+3i, 则 =﹣2﹣3i, 故选:D. 【点评】本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念,属 于基础试题. 3.(5分)(2x﹣y)5的展开式中,含 x3y2的系数为( ) A.80 B.﹣80 C.40 D.﹣40 【分析】在二项展开式的通项公式中,令 y的幂指数等于 2,求出 r的值,即可求得展开 式中含 x3y2的系数. 【解答】解:(2x﹣y)5的展开式中,通项公式为 Tr+1= ?(﹣1)r(2x)5 ﹣r?yr, 令 r=2,可得含 x3y2的系数为 ?23=80, 故选:A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题. 4.(5分)在一次期末考试中,随机抽取 200名学生的成绩,成绩全部在 50分至 100分之 间,将成绩按如下方式分成 5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100).据 此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这 200 名学生中成绩在[80,90)中的学生有 ( ) A.30名 B.40名 C.50名 D.60名 【分析】由频率直方图可求出绩在[80,90)内的学生所占的频率,再求出这 200名同学 中成绩大于等于 80分且小于 90分的学生. 【解答】解:成绩在[80,90)内的学生所占的频率为 1﹣(0.005×2+0.025+0.045)×10 =0.2, 所以这 200名同学中成绩大于等于 80分且小于 90分的学生有 200×0.2=40名, 故选:B. 【点评】本题考查频率直方图,计算人数,属于基础题. 5.(5分)函数 f(x)= 的零点之和为( ) A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2 【分析】利用已知条件,通过分段函数分别求解函数的零点,即可得到结果. 【解答】解:函数 f(x)= , 可得 x>0时,3x﹣2=0,解得 x=log32, x≤0时,x+log36=0,解得 x=﹣log36. 所以函数 f(x)= 的零点之和为:log32﹣log36=﹣1. 故选:A. 【点评】本题考查分段函数的应用,函数的零点的求法,考查计算能力. 6.(5分)我市高中数学研究会准备从会员中选拔 x名男生,y名女生组成﹣个小组去参加 数学文化知识竞赛,若 x,y满足约束条件 ,则该小组最多选拔学生( ) A.21名 B.16名 C.13名 D.11名 【分析】由题意画出约束条件表示的可行域,找出目标函数 z=x+y对应的最优解,计算 可行域内使得 z取得最大时的最优解. 【解答】解:画出 x,y满足约束条件 ,表示的平面区域,如图所示; 要求招入的人数最多,即 z=x+y取得最大值,目标函数化为 y=﹣x+z; 在可行域内任意取 x,y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1, 截距最大时的直线为过 得 A(7,9),此时目标函数取得最大值为:z=9+7=16. 故选:B. 【点评】本题考查了线性规划的应用问题,也考查了数形结合的求解问题,是基础题. 7.(5分)设 m=﹣log0.30.6,n= ,则( ) A.m+n<mn<0 B.mn<0<m+n C.m+n<0<mn D.mn<m+n<0 【分析】先求出 m=﹣ log0.30.6=﹣( log0.30.2+1)<﹣2,﹣ = <n= <0,由此能推导出 m+n<0<mn. 【解答】解:∵m=﹣log0.30.6=﹣(log0.30.2+log0.30.3)=﹣(log0.30.2+1)<﹣2, ﹣ = <n= <0, ∴m+n<0<mn. 故选:C. 【点评】本题考查命题真假的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考 查运算求解能力,是基础题. 8.(5分)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走, 遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用 程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 的酒量”即输出值是输 入值的 ,则输入的 x=( ) A. B. C. D. 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可. 【解答】解:i=1时.x=2x﹣1,i=2时,x=2(2x﹣1)﹣1=4x﹣3, i=3时,x=2(4x﹣3)﹣1=8x﹣7, i=4时,退出循环,此时 8x﹣7= x 解得 x= , 故选:C. 【点评】本题考查程序框图的知识,考查运算求解能力,利用模拟运算法是解决本题的 关键. 9.(5分)已知单位向量 , 分別与平面直角坐标系 x,y轴的正方向同向,且向量 = 3 ﹣ , =2 +6 ,则平面四边形 ABCD的面积为( ) A. B. C.10 D.20 【分析】由已知可得 ? =0,可得 ⊥ ,可得平面四边形 ABCD 的面积= ? | |?| |. 【解答】解: ? =(3 ﹣ )?(2 +6 )=6﹣6=0, ∴ ⊥ , 又| |= = ,| |= =2 , ∴平面四边形 ABCD的面积= ?| |?| |= ×2 =10, 故选:C. 【点评】本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式,考查了推理能力与 计算能力,属于基础题. 10.(5分)函数 f(x)=x?ln 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,由函数的解析式分析 f(x)的奇偶性以及(0,π)上的符号,利用 排除法分析可得答案. 【解答】解:根据题意,f(x)=x?ln ,则 f(﹣x)=(﹣x)ln =x?ln =f(x), 则函数 f(x)为偶函数,据此排除 C、D; 在(0,π)上,sinx>0,则有 0< <1,必有 ln <0,则 f(x)=xln <0,据此排除 B; 故选:A. 【点评】本题考查函数的图象分析,注意分析函数的奇偶性,属于基础题. 11.(5分)已知函数 f(x)= ,令函数 ,若函数 g (x)有两个不同零点,则实数 a的取值范围是( ) A. B.(﹣∞,0) C. D. 【分析】令 F(x)=f(x)﹣ = ,利用分段函数通过函数的导数, 求解函数的极值,利用函数的图象 通过 F(x)=a(a为常数)有两个不相等的实根,则 a<0或 ,求解即可. 【解答】解:令 F(x)=f(x)﹣ = , 当 x>0时,函数 F'(x)=2﹣(lnx+1)=1﹣lnx, 由 F'(x)>0得 1﹣lnx>0得 lnx<1,得 0<x<e, 由 F'(x)<0得 1﹣lnx<0得 lnx>1,得 x>e,当 x值趋向于正无穷大时,y值也趋向于 负无穷大,即当 x=e时,函数 F(x)取得极大值,极大值为 F(e)=2e﹣elne=2e﹣e =e, 当 x≤0时, ,是二次函数, 在轴处取得最大值 ,作出函数 F(x)的图象如图: 要使 F(x)=a(a为常数)有两个不相等的实根,则 a<0或 , 即若函数 g(x)有两个不同零点,实数 a的取值范围是 , 故选:C. 【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系,函数的导数的应用,同时考查了数 形结合的数学思想,属于中档题. 12.(5分)如图,已知函数 ,A1,A2,A3是图象的顶点,O,B,C, D为 f(x)与 x轴的交点,线段 A3D上有五个不同的点 Q1,Q2,…,Q5,记 (i=1,2,…,5),则 n1+n2+…+n5的值为( ) A. B.45 C. D. 【分析】可求得 A2,A3 的坐标,进而得到 ,运用数量积公式可得 ,由此得解. 【解答】解:由题意得,函数 f(x)的周期 T=1,即 B,C,D的横坐标分别为 1,2,3, 故 , 则 , 因为 ,故 , 故 = = . 故选:D. 【点评】本题考查三角函数的图象,向量的坐标运算,向量垂直的判断,向量的分解, 向量的数量积运算,以及数形结合思想,逻辑推理能力能,呈现方式新颖,属于较难题 目. 二、填空题:本大题共 4小题;每小题 5分,共 20分. 13.(5分)命题“?x∈R,f(x)≤x”的否定形式是 ?x0∈R,f(x0)>x0. . 【分析】否定:否定量词,否定结论. 【解答】解:否定:否定量词,否定结论. 故命题“?x∈R,f(x)≤x”的否定形式是为:?x0∈R,f(x0)>x0. 故答案为::?x0∈R,f(x0)>x0. 【点评】本题考查命题否定,属于基础题. 14.(5分)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C的坐标为(0,4),(2, 0),(6,4),则 f(f(0))= 2 ;函数 f(x)在 x=1处导数 f′(1)= ﹣2 . 【分析】(1)要求 f(f(0))的值,可先求 f(0)=4,再求 f(4),此即为所求; (2)函数的图象可知, ,然后求出导数即可求出结果. 【解答】解:(1)由图象可知 f(0)=4,f(4)=2, 即 f(f(0))=2 (2)∵f(0)=4,f(4)=2,f(2)=4, ∴由函数的图象可知, , 当 0≤x≤2时,f'(x)=﹣2 ∴f'(1)=﹣2 故答案为:2,﹣2 【点评】本题考查函数的图象,导数的运算,解题时要注意分段函数的定义域,属于基 础题. 15.(5分)如图,在单位圆中,7S△PON=2 ,△MON为等边三角形,M、N分别在单位 圆的第一、二象限内运动,则 sin∠POM= . 【分析】由 7S△PON=2 ,得到 ,故 90°< α+60°<120°,得 ,再由 sinα=sin[(α+60°)﹣60°]展开代入即 可. 【解答】解:设∠POM=α,因为 7S△PON=2 , 所以 ,又△MON为等边三角形,M、N分别在单位圆的第一、 二象限内运动, 所以 , 故 90°<α+60°<120°,得 , ∴sinα=sin[(α+60°)﹣60°]= , 故答案为: . 【点评】考查三角形两角和与差的公式,单位圆,三角形的面积等,中档题. 16.(5分)已知△ABC中,角 A,B,C对应的边分别为 a,b,c,且 BC边上的高为 a,则 的取值范围为 [2, ] . 【分析】利用三角形面积公式得到 a2=bcsinA,由余弦定理和两角和与差公式 = =sinA+2cosA= φ),结 合基本不等式求出 的范围. 【解答】解:已知△ABC中,角 A,B,C对应的边分别为 a,b,c,且 BC边上的高为 a, 所以 ,所以 a2=bcsinA, 由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA, 所 以 = = sinA+2cosA = φ),其中 tanφ=2, 所以 , 由根据基本不等式 ,当且仅当 b=c时,取等号, 故 , 故答案为: . 【点评】本题考查均值不等式的应用,三角形面积,余弦定理,三角函数辅助角公式, 三角函数求最值,考查逻辑推理能力,中档题. 三、解答题:本大题共 5小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17.(12分)已知{an}是递增的等差数列,且满足 a2+a4=20,a1?a5=36. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,求数列{bn}的前 n项和 Tn的最小值. 【分析】(1)设公差为 d,则 d>0,运用等差数列的性质和通项公式,可得公差 d,首项, 进而得到所求通项公式; (2)求得 bn= (4n﹣2)﹣30=2n﹣31,运用等差数列的求和公式,配方可得所求最 小值. 【解答】解:(1){an}是递增的等差数列,设公差为 d,则 d>0, a2+a4=20,a1?a5=36,可得 a1+a5=20, 解得 a1=2,a5=18,d= =4, 则 an=2+4(n﹣1)=4n﹣2; (2)bn= (4n﹣2)﹣30=2n﹣31, 可得前 n项和 Tn= n(﹣29+2n﹣31)=n2﹣30n=(n﹣15)2﹣225, 当 n=15时,前 n项和 Tn取得最小值﹣225. 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式,以及单调性、前 n项和的最值求法, 考查运算能力,属于基础题. 18.(12分)在△ABC中,内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c,且满足 . (1)求角 C; (2)设 D为边 AB的中点,△ABC的面积为 ,求边 CD的最小值. 【分析】(1)由已知结合正弦定理先进行化简,然后结合两角和的正弦公式及诱导公式 可求 cosC,进而可求 C; (2)由 ,代入可求 ab.然后由 ,结合向量数量积的 性质及余弦定理,基本不等式可求. 【解答】解:(1)由正弦定理: ,又 , 由题 ,所以 = . 因为 sinA≠0,所以 cosC(2sinB﹣sinA)=cosAsinC, 即 cosCsinA+cosAsinC=2sinBcosC,即 sinB=sin(A+C)=2sinBcosC, 因为 sinB≠0,所以 ,则 . (2)由 ,即 ,所以 ab=12. 由 ,所以 = 当且仅当 a=b时取等, 所以边 CD的最小值为 3. 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式,向量的数量积的性 质等知识的综合应用,属于中档试题. 19.(12分)如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中,侧面 ABB1A1是菱形,D为 AB的中点,△ ABC为等腰直角三角形,∠ACB= ,∠ABB1= ,且 AB=B1C. (1)求证:CD⊥平面 ABB1A1; (2)求 CD与平面 BCC1B1所成角的正弦值. 【分析】(1)推导出 CD⊥AB,连结 B1D,设 AB=2a,则 ,推导出 CD⊥B1D, 由此能证明 CD⊥平面 ABB1A1. (2)设 CD与平面 BCC1B1所成角为θ,点 D到平面 BCC1B1的距离为 d,AB=2a,由 ,求出 d= ,由此能求出 CD与平面 BCC1B1所成角的正弦值. 【解答】解:(1)证明:∵D为 AB中点,AC=BC,∴CD⊥AB, 连结 B1D,如图,设 AB=2a,∵四边形 ABB1A1是菱形,D为 AB 中点,∠ABB1= , ∴ ,∵△ABC是等腰直角三角形, ,CD=a, ∴ ,∴CD⊥B1D, ∵AB∩B1D=D,∴CD⊥平面 ABB1A1. (2)解:设 CD与平面 BCC1B1所成角为θ, 点 D到平面 BCC1B1的距离为 d,AB=2a, 由(1)知 B1D⊥平面 BCD,则 , ∴ = , ∵BC= ,B1B=B1C=2a,∴ = , ∴ = , ∵ ,∴ , 解得 d= ,∴sinθ= = . ∴CD与平面 BCC1B1所成角的正弦值为 . 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 20.(12分)某校为了解学生一周的课外阅读情况,随机抽取了 100名学生对其进行调查.下 面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,且将一 周课外阅读时间不低于 200分钟的学生称为“阅读爱好”,低于 200分钟的学生称为“非 阅读爱好”. (1)根据已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此判断是否有 97.5%的把握认为“阅读 爱好”与性别有关? 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 50 女 14 合计 (2)将频率视为概率,从该校学生中用随机抽样的方法抽取 4人,记被抽取的四人中“阅 读爱好”的人数为ξ,若每次抽取的结果是相互独立的,求ξ的分布列和数学期望 Eξ. 附: P(K2≥k0) 0.01 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ,n=a+b+c+d. 【分析】(1)完成 2×2列联表,求出 K2=6>5.024,从而有 97.5%的把握认为“阅读爱 好”与性别有关. (2)由频率分布直方图知从该校学生中任意抽取 1名学生,恰 为“阅读爱好”的概率 为 ,由题意知ξ~B(4, ),由此能求出ξ的分布列和 E(ξ). 【解答】解:(1)完成 2×2列联表如下: 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 24 26 50 女 36 14 50 合计 60 40 100 K2= =6>5.024, ∴有 97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关. (2)由频率分布直方图知: 从该校学生中任意抽取 1名学生,恰 为“阅读爱好”的概率为 , 由题意知ξ~B(4, ), P(ξ=0)= = , P(ξ=1)= = , P(ξ=2)= = , P(ξ=3)= = , P(ξ=4)= = , ∴ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 4 P ∴E(ξ)=4× = . 【点评】本题考查独立性检验的应用,考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法, 考查二次分布等基础知识,考查运算求解能力,是中档题. 21.(12分)已知函数 f(x)=eax+b(a,b∈R)的图象与直线 l:y=x+1 相切,f'(x)是 f (x)的导函数,且 f'(1)=e. (1)求 f(x); (2)函数 g(x)的图象与曲线 y=kf(x)(k∈R)关于 y轴对称,若直线 l与函数 g(x) 的图象有两个不同的交点 A(x1,g(x1)),B(x2,g(x2)),求证:x1+x2<﹣4. 【分析】(1)设直线 l与函数 f(x)的图象相切的切点为(m,n),求得 f(x)的导数可 得切线的斜率,由切线方程和已知条件,可得 m,n的方程和 a,b的方程,解方程组可 得 a,b,进而得到所求 f(x)的解析式; (2)求得 y=g(x)的解析式,g(x1)=x1+1,g(x2)=x2+1,两式相加和相减,相除 可得 x1+x2+2= ?(x1﹣x2),令 x1﹣x2=t(t>0),可得要证 x1+x2<﹣4,即证 ?t<﹣2,即证 t(1+et)﹣2(et﹣1)>0,可令 h(t)=t(1+et)﹣2(et﹣1),t >0,求得二阶导数,判断单调性,即可得证. 【解答】解:(1)设直线 l与函数 f(x)的图象相切的切点为(m,n), 函数 f(x)=eax+b的导数为 f′(x)=aeax+b, 由题意可得 aeam+b=1,eam+b=m+1,且 aea+b=e,解得 a=1,b=0,m=0, 可得 f(x)=ex; (2)函数 g(x)的图象与曲线 y=kf(x)(k∈R)关于 y轴对称, 可得 g(x)=kf(﹣x)=ke﹣x,由 g(x1)=x1+1,g(x2)=x2+1, 可得 ke﹣x1=x1+1,ke﹣x2=x2+1, 两式相加可得 k(e﹣x1+e﹣x2)=x1+x2+2, 两式相加可得 k(e﹣x1﹣e﹣x2)=x1﹣x2, 两式相除可得 = , 则 x1+x2+2= ?(x1﹣x2), 令 x1﹣x2=t(t>0),则 x1+x2+2= ?t, 要证 x1+x2<﹣4,即证 ?t<﹣2, 即证 t(1+et)﹣2(et﹣1)>0, 可令 h(t)=t(1+et)﹣2(et﹣1),t>0,h′(t)=1+tet﹣et,h″(t)=tet>0, h′(t)在 t>0递增,h′(t)>h′(0)=0,可得 h(t)在 t>0递增,即有 h(t)> h(0)=0, 可得 x1+x2<﹣4成立. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性,考查构造函数法和方程思想、 化简运算能力,属于中档题. 请考生在第 22-23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修 4-4:坐 标系与参数方程] 22 .( 10 分 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ,以坐标原点 O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标 系,曲线 C2的极坐标方程为ρ=4cosθ. (1)求曲线 C1与曲线 C2两交点所在直线的极坐标方程; (2)若直线 l的极坐标方程为 ,直线 l与 y轴的交点为 M,与曲 线 C1相交于 A,B两点,求|MA|+|MB|的值. 【分析】(1)由曲线 C1的参数方程消去参数φ,得曲线 C1的普通方程.把ρ=4cosθ两边 同时乘以ρ,结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线 C2的普通方程.联立两圆的普通 方程可得两交点所在直线的普通方程,进一步得到直线的极坐标方程; (2)由 ,展开两角和的正弦,得直线 l的直角坐标方程,求得 M (0,4),写出直线 l的参数方程,代入曲线 C1(x﹣5)2+y2=10,再由参数 t的几何意 义求解. 【解答】解:(1)由 (φ为参数),消去参数φ,得曲线 C1的普通方程 为:(x﹣5)2+y2=10. 由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ,得曲线 C2的普通方程为:x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4. 由两圆心的距离 ,得两圆相交, ∴两方程相减可得交线为﹣6x+21=5,即 . ∴直线的极坐标方程为 ; (2)由 ,得 , ∴直线 l的直角坐标方程:x+y=4, 则与 y轴的交点为 M(0,4). 直线 l的参数方程为 ,代入曲线 C1(x﹣5)2+y2=10,得 . 设 A,B两点的参数为 t1,t2, ∴ ,t1t2=31,则 t1,t2同号. ∴ . 【点评】本题考查参数方程与普通方程,以及极坐标方程与直角坐标方程的互化,考查 直线参数方程中参数 t的几何意义及其应用,着重考查了运算与求解能力,是中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知 x,y,z均为正数. (1)若 xy<1,证明:|x+z|? |y+z|>4xyz; (2)若 = ,求 2xy? 2yz? 2xz的最小值. 【分析】(1)利用基本不等式可得|x+z|? |y+z|≥ = ,再根据 0<xy <1时 ,即可证明|x+z|? |y+z|>4xyz; (2)由 = ,得 ,然后利用基本不等式即可得到 xy+yz+xz≥3, 从而求出 2xy? 2yz? 2xz的最小值. 【解答】解:(1)证明:∵x,y,z均为正数, ∴|x+z|? |y+z|=(x+z)(y+z)≥ = , 当且仅当 x=y=z时取等号. 又∵0<xy<1,∴ , ∴|x+z|? |y+z|>4xyz; (2)∵ = ,∴ . ∵ , , , 当且仅当 x=y=z=1时取等号, ∴ , ∴xy+yz+xz≥3,∴2xy? 2yz? 2xz=2xy+yz+xz≥8, ∴2xy? 2yz? 2xz的最小值为 8. 【点评】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值,考查了转化思想 和运算能力,属中档题.