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  • ID:3-6256354 课标通用高考数学一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和

    高中数学/高考专区/一轮复习


    §6.3 等比数列及其前n项和
    考纲展示? 
    1.理解等比数列的概念.
    2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
    3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.
    4.了解等比数列与指数函数的关系.
    考点1 等比数列的判定与证明
    /
    /
    1.等比数列的有关概念
    (1)定义:
    如果一个数列从第________项起,每一项与它的前一项的比等于________(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的________,通常用字母q表示,定义的表达式为=q.
    (2)等比中项:
    如果a,G,b成等比数列,那么________叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?________.
    2.等比数列的有关公式
    (1)通项公式:an=________.
    (2)前n项和公式:Sn=
    /
    [典题1] 已知数列{an}的前n项和为Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n.
    (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;
    (2)求数列{bn}的通项公式.
    [点石成金] 等比数列的四种常用判定方法
    (1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列.
    (2)中项公式法:若数列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
    (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均是不为0的常数,n∈N*),则数列{an}是等比数列.
    (4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列{an}是等比数列.
    [提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.
    (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
    /
    设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.
    (1)设bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;
    (2)求数列{an}的通项公式.
    考点2 等比数列的基本运算
    /
    /
    (1)[教材习题改编]已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384,则该数列的通项公式an=________.
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  • ID:3-6256353 课标通用高考数学一轮复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和

    高中数学/高考专区/一轮复习


    §6.2 等差数列及其前n项和
    考纲展示? 
    1.理解等差数列的概念.
    2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
    3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.
    4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
    考点1 等差数列的基本运算
    /
    /
    1.等差数列的有关概念
    (1)等差数列的定义
    一般地,如果一个数列从第________项起,每一项与它的前一项的差等于________,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母________表示,定义表达式为an-an-1=d(常数)(n∈N*,n≥2)或an+1-an=d(常数)(n∈N*).
    (2)等差中项
    若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有A=.
    2.等差数列的有关公式
    (1)等差数列的通项公式
    如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是________.
    (2)等差数列的前n项和公式
    设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=na1+d或Sn=.
    /
    (1)[教材习题改编]已知等差数列-5,-2,1,…,则该数列的第20项为________.
    (2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数.
    /
    知三求二.
    等差数列中,有五个基本量,a1,d ,n,an,Sn,这五个基本量通过________,____________联系起来,如果已知其中三个量,利用这些公式,便可以求出其余两个的值,这其间主要是通过方程思想,列方程组求解.
    /
    [典题1] (1)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=(  )
    A.-6   B.-4  
    C.-2   D.2
    (2)[2019·河北武邑中学高三期中]等差数列{an}中,Sn是其前n项和,a1=-9,-=2,则S10=(  )
    A.0   B.-9
    C.10   D.-10
    (3)[2019·河北唐山模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=________.
    [点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤
    (1)解题思路
    由等差数列的前n项和公式及通项公式可知,若已知a1,d,n,an,Sn中的三个便可求出其余两个,即“知三求二”,“知三求二”的实质是方程思想,即建立方程组求解.
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  • ID:3-6256352 课标通用高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念与简单表示

    高中数学/高考专区/一轮复习


    §6.1 数列的概念与简单表示
    考纲展示? 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
    2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
    考点1 由数列的前几项求数列的通项公式
    /
    /
    1.数列的概念
    (1)数列的定义:按照________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的________.
    (2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为________的函数an=f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.
    (3)数列有三种表示法,它们分别是________、________和________.
    答案:(1)一定顺序 项 (2)定义域 
    (3)列表法 图象法 通项公式法
    2.数列的分类
    /
    答案:有限 无限 > < 
    3.数列的两种常用的表示方法
    (1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与________之间的关系可以用一个式子________来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
    (2)递推公式:如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
    答案:(1)序号n an=f(n)
    4.已知数列{an}的前n项和Sn,则an=
    答案:S1 Sn-Sn-1
    /
    (1)[教材习题改编]已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0,给出下列各式:
    ①an=;
    ②an=;
    ③an=sin2;
    ④an=;
    ⑤an=
    ⑥an=+(n-1)(n-2).
    其中可以作为数列{an}的通项公式的有________.(写出所有正确结论的序号)
    答案:①③④
    (2)[教材习题改编]已知 {an}满足 an=+1(n≥2), a7=,则a5=__________.
    答案:
    解析:由递推公式,得a7=+1,a6=+1,则a5=.
    /
    [典题1] 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
    (1)-1,7,-13,19,…;
    (2),,,,,…;
    (3),2,,8,,…;
    (4)5,55,555,5 555,….
    [解] (1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5).
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  • ID:3-6256117 [精]备考2020年高考数学一轮复习:04 函数及其表示 同步练习(解析版)

    高中数学/高考专区/一轮复习


    备考2020年高考数学一轮复习:04 函数及其表示
    一、单选题
    1.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(?? )
    A.?y=x?????????????????????????????????B.?y=lg x?????????????????????????????????C.?y=2x?????????????????????????????????D.?y= 
    2.函数 的定义域是(?? )
    A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
    3.如图,已知函数 的图象关于坐标原点对称,则函数 的解析式可能是(?? )
    A.??????????????????????
    B.??????????????????????
    C.??????????????????????
    D.?
    4.函数y= 的定义域是( ?)
    A.?(k∈Z)??????????????????????????????B.??(k∈Z) C.??(k∈Z)???????????????????????????D.??(k∈Z)
    5.若函数 的定义域为 ,则实数 取值范围是(? )
    A.???????????????????????????B.???????????????????????????C.???????????????????????????D.?
    6.函数 的值域是( ??)
    A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
    7.已知函数 满足 ,且 ,则 (?? )
    A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?
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  • ID:3-6250910 浙江省金丽衢十二校2020届高三第一次(9月)联考数学试题(WORD版)

    高中数学/高考专区/模拟试题


    金丽衢十二校2020届高三第一次联考
    数学2019.9
    参考公式:
    如果事件A,B互斥,那么 .
    如果事件A,B相互独立,那么 .
    如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么次独立重复试验中事件恰好发生次
    的概率  .
    柱体的体积公式 ,其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.
    锥体的体积公式 ,其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.
    台体的体积公式  其中分别表示台体的上、下底面积,表示台体的高.
    球的表面积公式 ,其中R表示球的半径.
    球的体积公式 ,其中R表示球的半径.
    一、选择题:(每小题4分,共40)
    设集合,,则( )
    A. B. C. D.
    已知双曲线一条渐近线与直线垂直,则该双曲线的离心率为( )
    A. B. C. D.
    若实数满足约束条件,则的最大值等于( )
    A.2 B.1 C. D.
    已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
    A. B. C. D.
    
    已知,是实数,则“且”是“且”( )
    A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    口袋中有5个形状和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以表示取出球的最大号码,则( )
    A. B. C. D.
    如图,四棱柱,底面为正方形,侧棱,,,P是侧面内的动点,且,记AP与平面所成的角为,则的最大值为( )
    A. B. C. D.
    
    已知函数,函数有四个不同的零点,从小到大一次为,,,,则的取值范围为( )
    A. B. C. D.
    函数的图象大致为( )
    
    设等差数列的公差为,满足:
    ,则下列说法正确的是( )
    A. B.的值可能为奇数
    C.存在,满足 D.的可能取值为11
    二、填空题(多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
    《算法统宗》中有如下问题:“哑子来买肉,难言钱数目,一斤少三十,八两多十八,试问能算者,合与多少肉”,意思是一个哑子来买肉,说不出钱的数目,买一斤(16两)还差30文钱,买八两多十八文钱,求肉数和肉价,则该问题中,肉价是每两 文,他所带钱共可买肉 两.
    若(i为虚数单位)则 ,z的实部为 .
    在的展开式中,常数项为 ,系数最大的项是 .
    设平面向量,满足,,,则的最大值为 ,最小值为 .
    已知,是椭圆与双曲线的公共焦点,P是,的公共点,若,则的渐近线方程为 .
    如图,在四边形中,,,,,是的角平分线,则 .
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  • ID:3-6249672 高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料:第五章平面向量5.4平面向量应用举例

    高中数学/高考专区/一轮复习


    §5.4 平面向量应用举例
    考纲展示? 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
    2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
    考点1 向量在平面几何中的应用
    /
    /                   
    向量在几何中的应用
    a=(x1,y1),b=(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2).
    (1)证明线线平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b?a=λb?____________(b≠0).
    (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:
    a⊥b?a·b=0?____________.
    (3)平面几何中夹角与线段长度计算:
    ①cos a,b==________________;
    ②|AB|=||==____________.
    /
    [典题1] 已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )
    A.内心 B.外心
    C.重心 D.垂心
    [题点发散1] 在本例中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则如何选择?
    [题点发散2] 在本例中,若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则如何选择?
    [点石成金] 向量与平面几何综合问题的解法
    (1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.
    (2)基向量法:适当选取一组基底,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.
    /
    已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为________.
    考点2 平面向量在三角函数中的应用
    /
    [典题2] 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m=,n=,且2m·n+|m|=,·=1.
    (1)求角A的大小;
    (2)求△ABC的面积S.
    [点石成金] 1.解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决.
    2.熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.
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  • ID:3-6249671 高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料:第五章平面向量5.3平面向量的数量积

    高中数学/高考专区/一轮复习


    §5.3 平面向量的数量积
    考纲展示? 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
    2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
    3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
    4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
    考点1 平面向量的数量积的运算
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    /
    1.平面向量数量积的有关概念
    (1)向量的夹角:已知两个非零向量a和b,记=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
    (2)数量积的定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则________ 叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=________,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
    (3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积.
    2.平面向量数量积的运算律
    (1)a·b=b·a(交换律).
    (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).
    (3)(a+b)·c=________(分配律).
    /
    (1)[教材习题改编]在△ABC中,·>0,则△ABC是________三角形.
    (2)[教材习题改编]在?ABCD中,AB=4,BC=2,∠ABC=60°,则·=________.
    /
    与平面向量的数量积有关的易错点:投影;向量夹角;运算律.
    下列说法正确的有________个.
    ①向量b在向量a方向上的投影是向量;
    ②若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角;
    ③(a·b)·c=a·(b·c);
    ④若a·b=0,则a=0或b=0.
    /
    [典题1] (1)[2019·四川成都模拟]在△ABC中,点M在线段AC上,点P在线段BM上,且满足==2,若||=2,||=3,∠BAC=90°,则·=(  )
    A.1 B.-
    C. D.-
    (2)[2019·安徽合肥联考]已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,则a+b在a上的投影为________.
    [点石成金] 向量数量积的两种运算方法
    方法
    运用提示
    适用题型
    
    定义法
    当已知向量的模和夹角θ时,可利用定义法求解,即a·b=|a|·
    |b|cos θ
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  • ID:3-6249670 高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料:第四章三角函数与解三角形4.8解三角形应用举例

    高中数学/高考专区/一轮复习


    §4.8 解三角形应用举例
    考纲展示? 
    能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
    考点1 距离的测量
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    /
    测量距离的基本类型及方案


    A,B两点间不可通或不可视
    A,B两点间可视,但有一点不可达
    A,B两点都不可达
    
    图

    /
    /
    /
    
    方

    先测角C,AC=b,BC=a,再用余弦定理求AB
    以点A不可达为例,先测角B,C,BC=a,再用正弦定理求AB
    测得CD=a,∠BCD,∠BDC,∠ACD,∠ADC,∠ACB,在△ACD中用正弦定理求AC;
    在△BCD中用正弦定理求BC;
    在△ABC中用余弦定理求AB
    
    续表


    A,B两点间不可通或不可视
    A,B两点间可视,但有一点不可达
    A,B两点都不可达
    
    结

    AB=
    
    AB=
    
    ①AC=
    ;
    ②BC=
    ;
    ③AB=
    
    
    /
    (1)[教材习题改编]海上有A,B,C三个小岛,A,B相距5海里,从A岛望C和B成45°视角,从B岛望C和A成75°视角,则B,C两岛间的距离是________海里.
    (2)[教材习题改编]已知A,B两地间的距离为10 m,B,C两地间的距离为20 m,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离是________.
    /
    [考情聚焦] 研究测量距离问题是高考中的常考内容,题型既有客观题,也有解答题,难度一般适中,属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解.
    主要有以下几个命题角度:
    角度一
    两点可视但有一点不可到达
    [典题1] 某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15 min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上,则点B与电视塔的距离是________km.
    /
    角度二
    两点不可到达的距离
    [典题2] [2019·辽宁沈阳一模]如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.试探究图中B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01 km,
    ≈1.414,≈2.449).
    /
    角度三
    两点不相通的距离
    [典题3] 如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.即AB=.若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,试计算AB的长为________.
    /
    [点石成金] 求距离问题的注意事项
    (1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
    (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
    (3)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正余弦定理求解.
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  • ID:3-6249668 高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料:第四章三角函数与解三角形4.7正弦定理和余弦定理

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    §4.7 正弦定理和余弦定理
    考纲展示? 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
    2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.
    考点1 利用正、余弦定理解三角形
    /                   
    /
    正、余弦定理
    在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
    定理
    正弦定理
    余弦定理
    
    公式
    =________=
    ________=2R
    a2=____________;
    b2=____________;
    c2=____________
    
    续表
    定理
    正弦定理
    余弦定理
    
    常见
    变形
    (1)a=2Rsin A,
    b=____________,
    c=____________;
    (2)sin A=,sin B=________,sin C=;
    (3)a∶b∶c=________;
    (4)asin B=bsin A①,
    bsin C=csin B,
    asin C=csin A
    cos A=__________;
    cos B=__________;
    cos C=__________
    
    /
    (1)[教材习题改编]在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则∠A+∠C=(  )
    A.90° B.120°
    C.135° D.150°
    (2)[教材习题改编]在△ABC中,已知∠A=60°,∠B=75°,c=20,则a=________.
    /
    解三角形的一般类型:已知两边及一角;已知两角及一边;已知三边.
    (1)在△ABC中,已知a=5,b=2,C=30°,则c=________.
    (2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=,sin A=,b=,则a=________.
    (3)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶4∶3,则cos C=________.
    /
    [典题1] [2019·山师大附中一模]设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.
    (1)求角B的大小;
    (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
    [点石成金] 1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
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  • ID:3-6249666 高三理科数学一轮复习讲义,复习补习资料:第四章三角函数与解三角形4.6函数y=Asinωx+φ的图象及应用

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    §4.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
    考纲展示? 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.
    2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题.
    考点1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
    /
    /
    1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
    y=Asin(ωx
    +φ)(A>0,ω>0)
    振幅
    周期
    频率
    相位
    初相
    
    
    A
    T=______
    f==
    ______

    
    2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图
    用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:
    x
    -
    -+
    
    -
    
    
    ωx+φ
    ____
    
    ____
    
    ______
    
    y=Asin(ωx+φ)
    0
    A
    0
    -A
    0
    
    /
    (1)[教材习题改编]为了得到函数y=2sin的图象,只要把函数y=2sin的图象上所有的点(  )
    A.向右平移个单位长度
    B.向左平移个单位长度
    C.向右平移个单位长度
    D.向左平移个单位长度
    (2)[教材习题改编]函数y=sin x的图象上每个点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图象.
    /
    图象变换的两个误区:平移变换;伸缩变换.
    (1)要得到函数y=sin 2x的图象,只需把函数y=sin的图象向右平移________个单位长度.
    (2)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数________的图象.
    /
    [典题1] (1)[2019·山东荣成六中高三月考]为了得到函数y=4sin,x∈R的图象,只需把函数y=4sin,x∈R的图象上所有点的(  )
    A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
    B.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
    C.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变
    D.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变
    (2)将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位长度,得到的曲线与y=sin x的图象相同,则f(x)=________.
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