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  • ID:3-7699752 河南省2021届新高三上学期期初第一次摸底考试理科数学试题 PDF版含答案

    高中数学/高考专区/模拟试题

    河南省2021届新高三上学期期初第一次摸底考试理科数学试题 PDF版含答案

  • ID:3-7645080 2020年河南省高考数学大联考试卷(文科)(6月份) (word解析版)

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年河南省高考数学大联考试卷(文科)(6月份) 一、选择题(共12小题). 1.已知集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|2﹣2x>0},则A∩B=(  ) A.(1,2) B.(﹣2,1) C.(0,1) D.(﹣1,0) 2.已知z(1﹣i)=5+i,则z=(  ) A.﹣2+3i B.﹣2﹣3i C.2﹣3i D.2+3i 3.“x≥”是“x+≥2”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为(  ) A.2 B. C. D. 5.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示,中国每周大概增加1万多个5G基站,4月份增加5G用户700多万人,5G通信将成为社会发展的关键动力,如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图,阅读如图.关于下列说法: ①2022年我国5G用户规模年增长率最高; ②2022年我国5G用户规模年增长户数最多; ③从2020年到2026年,我国的5G用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降; ④这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差. 其中正确的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数f(x)=,若f(a2﹣3)≥f(﹣2a),则实数a的取值范围是(  ) A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) C.(﹣∞,1]∪[3,+∞) D.[﹣3,1] 7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为360,则框图中空格处应填入(  ) A.k≥6? B.k≥7? C.k≤6? D.k≤7? 8.函数f(x)=的部分图象大致为(  ) A. B. C. D. 9.在锐角△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,则角A的大小为(  ) A. B. C. D. 10.函数的图象的一条对称轴方程为(  ) A. B. C. D. 11.饕餮(tāo tiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(  ) A. B. C. D. 12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,过点D1,E,F作该正方体的截面,截面将正方体分成两部分,则较小部分与较大部分的体积的比值为(  ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.在△ABC中,已知A(3,2),B(1,5),C(1,2),则=   . 14.已知函数f(x)=x3﹣lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为   . 15.长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1是正方形,O为正方形A1B1C1D1的中心,A1B1=4,AA1=3,则异面直线AD1与BO所成角的正弦值为   . 16.已知抛物线C:x2=2py(p>0),倾斜角为的直线l过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,O为坐标原点,|AB|=8,则△AOB的面积为   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.已知等差数列{an}满足a8=3a3,a1+a2=4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设,求数列{bn}的前n项和Tn. 18.新冠肺炎疫情期间,各地均响应“停课不停学,停课不停教”的号召,开展了网课学习.为了检查网课学习的效果,某机构对2000名学生进行了网上调查,发现有些学生上网课时有家长在旁督促,而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类,对应的人数如表所示: 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 500 300 800 没有家长督促的学生 700 500 1200 合计 1200 800 2000 (1)是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联? (2)从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在(50,70)内,有三人的进步幅度在(20,30)内,另外一人进步幅度在(10,20)内.如果从这六人中任选两人进行比较,求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率. 附:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 19.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,平面SAB⊥平面ABCD,E为BS的中点,∠ASB=∠ABS=30°,tan∠ASD=,AB=3. (1)证明:平面DAE⊥平面DSB. (2)求三棱锥B﹣SAD的体积. 20.已知椭圆M:的左、右焦点分别为F1和F2,P为M上的任意一点,|PF1|+|PF2|=4,且该椭圆的短轴长等于焦距. (1)求椭圆M的标准方程. (2)已知点R,Q是M上关于原点O对称的两点,过M的左顶点A作直线l交椭圆M于另一点B,交y轴于点C,且BC∥RQ,判断是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由. 21.已知函数,f'(x)是f(x)的导函数. (1)求f(x)的极值; (2)当x0<1时,证明:f(x)≤f'(x0)(x﹣x0)+f(x0). (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点A在曲线C2:上,点B在曲线C3:ρsinθ=4上,且△AOB为正三角形. (1)分别求出点A,B的极坐标(ρ,θ)(其中ρ≥0,0≤0<2π); (2)若点P为曲线C1上的动点,M为线段AP的中点,求|BM|的最大值. [选修4-5:不等式选讲] 23.设函数f(x)=|x﹣3|,g(x)=|x﹣4|. (1)解不等式f(x)+g(x)<3; (2)对于实数x,y,若f(x)≤1,g(y)≤1,证明:|2x﹣3y+3|≤8. 参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|2﹣2x>0},则A∩B=(  ) A.(1,2) B.(﹣2,1) C.(0,1) D.(﹣1,0) 【分析】求出集合A,B,由此能求出A∩B. 解:∵集合A={x|x2﹣2x<0}={x|0<x<2}, B={x|2﹣2x>0}={x|x<1}, ∴A∩B={x|0<x<1}=(0,1). 故选:C. 2.已知z(1﹣i)=5+i,则z=(  ) A.﹣2+3i B.﹣2﹣3i C.2﹣3i D.2+3i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:∵z(1﹣i)=5+i, ∴z==2+3i. 故选:D. 3.“x≥”是“x+≥2”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论. 解:若,则,当且仅当x=1时取等号; 若,则x>0. ∴“x≥”是“x+≥2”的充分不必要条件. 故选:A. 4.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为(  ) A.2 B. C. D. 【分析】求出渐近线方程,代入点的坐标,推出a,b关系,然后求解离心率即可. 解:因为双曲线的一条渐近线经过点, 所以渐近线经过点,所以, 从而. 故选:C. 5.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示,中国每周大概增加1万多个5G基站,4月份增加5G用户700多万人,5G通信将成为社会发展的关键动力,如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图,阅读如图.关于下列说法: ①2022年我国5G用户规模年增长率最高; ②2022年我国5G用户规模年增长户数最多; ③从2020年到2026年,我国的5G用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降; ④这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差. 其中正确的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】利用图表判断增长率,用户增加人数以及方差判断选项的正误即可. 解:由图可以看出:2022年增长率最高,①正确; 2022年比2021年增加用户20498.1万人,而2023年比2022年增加用户37499.9万人,②错误; 从2023年起年增长率逐年下降,③正确; 这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数大于前5年的平均数,但是方差小,④错误. 故选:B. 6.已知函数f(x)=,若f(a2﹣3)≥f(﹣2a),则实数a的取值范围是(  ) A.(﹣∞,1] B.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) C.(﹣∞,1]∪[3,+∞) D.[﹣3,1] 【分析】利用函数的单调性,转化求解不等式的解集即可. 解:函数f(x)=,在(﹣∞,+∞)上为减函数, 因此,不等式f(a2﹣3)≥f(﹣2a)等价于a2﹣3≤﹣2a, 解得﹣3≤a≤1. 故选:D. 7.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为360,则框图中空格处应填入(  ) A.k≥6? B.k≥7? C.k≤6? D.k≤7? 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解:模拟程序的运行,可得 S=0.5,k=2; S=1,k=3; S=3,k=4; S=12,k=5; S=60,k=6; S=360,k=7. 所以填入“k≥7?”,输出的结果为360. 故选:B. 8.函数f(x)=的部分图象大致为(  ) A. B. C. D. 【分析】先判断函数的定义域和奇偶性,结合f(1)的值,利用排除法进行判断即可. 解:因为f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),且f(x)为偶函数,排除A,C. 又当x=1时,f(1)=cosπ=﹣1<0,排除选项D, 故选:B. 9.在锐角△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,则角A的大小为(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知利用余弦定理化简可得,结合△ABC为锐角三角形,可求A的值. 解:因为, 所以b2+c2﹣a2=2bccosA, 所以,即. 又△ABC为锐角三角形, 所以. 故选:A. 10.函数的图象的一条对称轴方程为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用三角函数的诱导公式进行转化,结合三角函数的对称性进行求解即可. 解:因为3x+﹣(3x﹣)=, 所以3x+﹣=3x﹣, 则=2sin(3x+)+cos(3x+﹣)=2sin(3x+)+sin(3x+)=3sin(3x+), 所以其图象的对称轴方程为=, 解得, 当k=1时,. 故选:C. 11.饕餮(tāo tiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为(  ) A. B. C. D. 【分析】点P从A点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,利用列举法能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率. 解:点P从A点出发,每次向右或向下跳一个单位长度, 则有(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(下,右,右), (右,下,下),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下),共8种不同的跳法(线路), 符合题意的只有(下,下,右)这1种, 所以3次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=. 故选:B. 12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,BC的中点,过点D1,E,F作该正方体的截面,截面将正方体分成两部分,则较小部分与较大部分的体积的比值为(  ) A. B. C. D. 【分析】由题意画出图形,设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6,则其体积为216,再由棱锥体积公式求解截面下方多面体的体积,作差得到截面上方多面体的体积,则答案可求. 解:如图,作出截面D1MEFN, 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6,则其体积为216, 延长D1M交DA的延长线于点K,连接KE,延长D1N交DC的延长线于点L,连接FL. ∵E,F分别为棱AB,BC的中点,M,N分别为两棱的三等分点, ∴AK=CL=3,AM=CN=2, 则, , ∴正方体被截面分成两部分,其中一部分的体积为81﹣6=75,另外一部分的体积为216﹣75=141. ∴较小部分与较大部分的体积比值为. 故选:D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.在△ABC中,已知A(3,2),B(1,5),C(1,2),则= 4 . 【分析】求出数量积的表达式中的两个向量,然后利用数量积公式求解即可. 解:因为A(3,2),B(1,5),C(1,2), 所以,,所以=﹣2×(﹣2)+3×0=4. 故答案为:4. 14.已知函数f(x)=x3﹣lnx,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 2x﹣y﹣1=0 . 【分析】先求出函数的导数,然后分别求出切点处的函数值、导数值,则切线方程可解. 解:因为f(x)=x3﹣lnx,所以, 又f(1)=1,f'(1)=2,所以切线方程为y﹣1=2(x﹣1),即2x﹣y﹣1=0. 故答案为:2x﹣y﹣1=0. 15.长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1是正方形,O为正方形A1B1C1D1的中心,A1B1=4,AA1=3,则异面直线AD1与BO所成角的正弦值为  . 【分析】由题意画出图形,利用异面直线所成角的定义找出异面直线AD1与BO所成角,求解三角形得答案. 解:如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中, 由AB∥D1C1,AB=D1C1,得四边形ABC1D1 为平行四边形, 则AD1∥BC1,∴异面直线AD1与BO所成角为∠OBC1. 又A1B=C1B==5,O为A1C1的中点,∴BO⊥A1C1. 又,∴, 则. 故答案为:. 16.已知抛物线C:x2=2py(p>0),倾斜角为的直线l过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,O为坐标原点,|AB|=8,则△AOB的面积为 2 . 【分析】设出直线方程,求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的性质,求出抛物线方程,通过点到直线的距离转化求解三角形的面积即可. 解:根据题意知, 设直线l的方程为,代入抛物线得x2﹣2px﹣p2=0, 所以|AB|=y1+y2+p=x1+x2+2p=4p=8,解得p=2, 所以直线l的方程为y=x+1. 又原点O到直线l的距离为, 所以. 故答案为:. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分 17.已知等差数列{an}满足a8=3a3,a1+a2=4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设,求数列{bn}的前n项和Tn. 【分析】本题第(1)题先设等差数列{an}的公差为d,然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组,解出a1与d的值,即可计算出数列{an}的通项公式; 第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{bn}的通项公式,然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn. 解:(1)由题意,设等差数列{an}的公差为d,则 , 整理,得, 解得, ∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,n∈N*. (2)由(1)知,==, 则Tn=b1+b2+…+bn =(1﹣)+(﹣)+…+ =(1﹣+﹣+…+﹣) =(1﹣) =. 18.新冠肺炎疫情期间,各地均响应“停课不停学,停课不停教”的号召,开展了网课学习.为了检查网课学习的效果,某机构对2000名学生进行了网上调查,发现有些学生上网课时有家长在旁督促,而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类,对应的人数如表所示: 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 500 300 800 没有家长督促的学生 700 500 1200 合计 1200 800 2000 (1)是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联? (2)从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在(50,70)内,有三人的进步幅度在(20,30)内,另外一人进步幅度在(10,20)内.如果从这六人中任选两人进行比较,求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率. 附:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【分析】(1)由列联表计算观测值,对照附表得出结论; (2)用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值. 解:(1)由列联表计算, 因为3.472>2.706, 所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联; (2)设a,b两人的进步幅度在(50,70)内,c,d,e三人的进步幅度在(20,30)内, 另外一人f的进步幅度在(10,20)内,则从这六人中任选两人, 有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、 (b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、 (c,d)、(c,e)、(c,f)、 (d,e)、(d,f)、(e,f)共15种不同选法, 其中符合两人的进步幅度之差在(20分)以内的有 (a,b)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f)共7种, 所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率为. 19.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,平面SAB⊥平面ABCD,E为BS的中点,∠ASB=∠ABS=30°,tan∠ASD=,AB=3. (1)证明:平面DAE⊥平面DSB. (2)求三棱锥B﹣SAD的体积. 【分析】(1)由ABCD是矩形,得AD⊥AB.再由已知结合平面与平面垂直的性质可得AD⊥平面SAB.从而得到AD⊥BS.再证明AE⊥BS.由直线与平面垂直的判定可得BS⊥平面DAE.从而得到平面DAE⊥平面DSB. (2)由三棱锥B﹣SAD的体积VB﹣SAD=VD﹣ABS,再由已知求出三角形SAB的面积,则三棱锥B﹣SAD的体积可求. 【解答】(1)证明:∵ABCD是矩形,∴AD⊥AB. ∵平面SAB⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面SAB=AB,AD?平面ABCD, ∴AD⊥平面SAB. 又BS?平面SAB,∴AD⊥BS. ∵∠ASB=∠ABS,∴AS=AB, 又E为BS的中点,AE⊥BS. 又AD∩AE=A,∴BS⊥平面DAE. 由于BS?平面DSB,∴平面DAE⊥平面DSB. (2)解:三棱锥B﹣SAD的体积VB﹣SAD=VD﹣ABS, ∵,AS=AB=3, ∴AD=1. 由于∠ASB=∠ABS=30°, ∴, 从而,即三棱锥B﹣SAD的体积为. 20.已知椭圆M:的左、右焦点分别为F1和F2,P为M上的任意一点,|PF1|+|PF2|=4,且该椭圆的短轴长等于焦距. (1)求椭圆M的标准方程. (2)已知点R,Q是M上关于原点O对称的两点,过M的左顶点A作直线l交椭圆M于另一点B,交y轴于点C,且BC∥RQ,判断是否为定值.若是,求出该值;若不是,请说明理由. 【分析】(1)由椭圆定义可得2a=4,且2b=2c,结合a2=b2+c2,解出a,b即可; (2)设l:y=k(x+2)(k≠0),得到C(0,2k),表示出|AC|,联立直线与椭圆方程得到B,表示出|AB|,根据平行得到RQ:y=kx,与椭圆方程联立得到R,表示出|QR|2,由|RQ|=2|OR|,得,即可求得. 解:(1)因为|PF1|+|PF2|=4,所以2a=4,解得a=2, 设椭圆的焦距为2c,所以2b=2c,即b=c, 由a2=b2+c2,解得b2=2, 所以椭圆M的方程为; (2)为定值2,理由如下: 由题意可知直线l的斜率存在且不为0,设l:y=k(x+2)(k≠0), 令x=0,得y=2k,即C(0,2k),又易知A(﹣2,0),所以, 由,得,即, 所以. 因为BC∥RQ,所以直线RQ的方程为y=kx, 由得, 所以. 由|RQ|=2|OR|,得, 所以. 故为定值2. 21.已知函数,f'(x)是f(x)的导函数. (1)求f(x)的极值; (2)当x0<1时,证明:f(x)≤f'(x0)(x﹣x0)+f(x0). 【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可; (2)令g(x)=f(x)﹣f'(x0)(x﹣x0)﹣f(x0),求出g(x)的导数,根据函数的单调性求出函数的最大值,从而证明结论即可. 【解答】(1)解:因为,所以f'(x)=(1﹣x)e﹣x.……………………………………………………(1分) 当x∈(﹣∞,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0.…………………………………………… 所以f(x)在(﹣∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,……………………………………………… 从而f(x)有极大值,极大值为,无极小值.…………………………………………………… (2)证明:令g(x)=f(x)﹣f'(x0)(x﹣x0)﹣f(x0), 则.………………………… 设,则φ'(x)=﹣ex0﹣ex(1﹣x0).………………………………………… 因为x0<1,所以φ'(x)<0, 所以φ(x)在R上单调递减.………………………………………………………………………………… 又φ(x0)=0, 所以当x<x0时,φ(x)>0;当x>x0时,φ(x)<0,…………………………………………………… 即当x<x0时,g'(x)>0;当x>x0时,g'(x)<0.……………………………………………………… 所以g(x)在区间(﹣∞,x0)上单调递增,在区间(x0,+∞)上单调递减.…………………………………… 所以g(x)≤g(x0)=0, 所以f(x)≤f'(x0)(x﹣x0)+f(x0).……………………………………………………………………… (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点A在曲线C2:上,点B在曲线C3:ρsinθ=4上,且△AOB为正三角形. (1)分别求出点A,B的极坐标(ρ,θ)(其中ρ≥0,0≤0<2π); (2)若点P为曲线C1上的动点,M为线段AP的中点,求|BM|的最大值. 【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (2)利用两点间的距离公式的应用求出结果. 解:(1)因为点B在曲线C3:ρsinθ=4上,即点B在直线y=4上, 又点A在曲线C2:上,且△AOB为正三角形, 所以在极坐标系中,,. (2)由(1)知点A的直角坐标为, 设点M的直角坐标为(x,y),所以点. 因为曲线C1的参数方程为, 即C1为圆x2+y2=16, 所以,即点M在上, 又点B的直角坐标为(0,4),所以|BM|的最大值为. [选修4-5:不等式选讲] 23.设函数f(x)=|x﹣3|,g(x)=|x﹣4|. (1)解不等式f(x)+g(x)<3; (2)对于实数x,y,若f(x)≤1,g(y)≤1,证明:|2x﹣3y+3|≤8. 【分析】(1)设h(x)=f(x)+g(x),将h(x)写为分段函数的形式,然后根据h(x)<3,利用零点分段法解不等式即可; (2)由条件可知|x﹣3|≤1,|y﹣4|≤1,然后利用绝对值三角不等式,可得|2x﹣3y+3|=≤2|x﹣3|+3|(y﹣4)+1|,进一步证明|2x﹣3y+3|≤8成立. 解:(1)设h(x)=f(x)+g(x), 则h(x)=|x﹣3|+|x﹣4|=, ∵f(x)+g(x)<3, ∴或或, ∴2<x≤3或3<x<4或4≤x<5,∴2<x<5, ∴不等式f(x)+g(x)<3的解集为(2,5). (2)证明:∵f(x)≤1,g(y)≤1,∴|x﹣3|≤1,|y﹣4|≤1. 又|2x﹣3y+3|=|2(x﹣3)﹣3(y﹣3)|≤2|x﹣3|+3|(y﹣4)+1|, ∴|2x﹣3y+3|≤2|x﹣3|+3(|y﹣4|+1)≤2+3×(1+1)=8, ∴|2x﹣3y+3|≤8.

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